Corrigé Exercice 1. (5 points)
On considère la fonction f définie sur [ - 1 ; 2 ] par f(x) = 2x3 – 2x2 + 0,3.
1) L'équation f(x) = 0 semble avoir deux solutions.
2) f est dérivable sur [ - 1 ; 2 ] et f ' (x) = 6x2 – 4x = 2x (3x – 2).
x –1 0 2
3 2 f( 2
3 ) = 16 27 – 8
9 + 0,3 = 1
270 ≈ 0,0037
2x – 0 + ⋮ + f(0)= 0,3
3x – 2 – ⋮ – 0 + f(-1) = -3,7
f ' (x) + ⋮ – ⋮ + f(2)= 8,3
x –1 0 2
3 2
f ' (x) + 0 – 0 +
f (x) –3,7
0,3
1 270
8,3
3) On constate qu'il n'y a qu'une solution car la fonction reste positive sur [ 0 ; 2 ].
4) La solution est environ – 0,34.
Exercice 2. (2 points)
1) Allure de la courbe représentative de f ci-contre.
2) La fonction est continue sur car elle est continue en 1.
Exercice 3. (3 points)
On a tracé ci-contre la courbe représentative d'une fonction à l'aide d'une calculatrice.
1) La fonction semble convexe sur ] - ∞ ; - 1 [ ∪ ] 1 ; + ∞ [ et concave sur ] - 1 ; 1 [.
2) Les abscisses des points d'inflexions semblent être - 1 et 1.
Exercice 4. (5 points)
On considère la fonction f définie sur [ - 2 ; 6 ] par f(x) = x4 – 3x3. 1) f est deux fois dérivable sur [ - 2 ; 6 ] et f ' (x) = 4x3 – 9x2. 2) f '' (x) = 12x2 – 18x = 6x(2x – 3).
3)
x –2 0 3
2 6
x – 0 + ⋮ +
2x – 3 – ⋮ – 0 +
f '' (x) + 0 – 0 +
Donc f est convexe sur ] - 2 ; 0 [ ∪ ] 3
2 ; 6 [et concave sur ] 0 ; 3 2 [.
4) Les points d'inflexion sont ( 0 ; f (0)) et ( 3 2 ; f ( 3
2 )).
f (0) = 0 et f ( 3 2 ) = 81
16 – 81 8 = 81
16 .
