Les nombres complexes

Les nombres complexes

I. L’ensemble C des nombres complexes. Forme algébrique d’un nombre complexe

1) Définition des nombres complexes

a) Un nombre mystérieux : le nombre √2

Au collège, on découvre la notion de racine carrée. Dans certains cas, cette racine carrée est très simple et elle ne fournit pas un nombre nouveau :√9=3 car3×3=9ou√16=4car4×4=16.

Le premier « nombre mystérieux » apparaissant dans la scolarité est le nombre√2. Ce nombre n’est ni1car1×1=1 qui est plus petit que2 ni2 car2×2=4qui est plus grand que 2. Le nombre√2est quelque part entre 1et2. Puisque1,4²=1,96, le nombre√2est un peu plus grand que1,4et puisque1,5²=2,25, le nombre√2est un peu plus petit que1,5. En affinant ce travail, on trouve√2=1,414. . .On peut en fait obtenir autant de décimales que l’on veut mais on obtient toujours un nombre fini de décimales. On n’obtient donc jamais la valeur exacte de√2 car on sait démontrer en maths que le nombre√2a une infinité de décimales non nulles et que la suite de ses décimales n’est pas périodique. Le nombre√2reste donc en partie inconnu. On sait que son carré est égal à2mais on n’est pas capable d’en donner une valeur exacte. On pourrait même mettre en doute son existence si le théorème dePythagorene nous fournissait pas un segment de longueur √

2 : la longueur de la diagonale d’un carré de côté1est égale à√

2. Pour accepter ce nombre comme réel, il a fallu faire preuve d’une certaine capacité d’abstraction.

Nous allons maintenant franchir un cran dans l’abstraction carnous allons définir un nouveau « nombre mystérieux » : un nombre dont le carré est égal à −1.Le besoin de disposer d’un tel nombre s’est fait sentir à partir du XVI ème siècle. Nous avons fourni en annexe de ce cours un bref historique. Nous vous invitons à le lire une fois que vous aurez appris au moins les paragraphes I, II et III de ce chapitre.

b) Les nombres complexes

On admet que l’on peut construire un ensemble de nombres noté Ctel que : Théorème 1 et définition 1.

• CcontientR,

• Cest muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent l’addition et la multiplication dansRet qui obéissent aux mêmes règles de calcul que dansR,

• Ccontient un nombre, notéi, tel que i²= −1,

• tout élément deCs’écrit sous la formex+iyoùxety sont deux réels.

Remarque.Le nombrein’appartient pas àRcar aucun nombre réel n’a pour carré le nombre−1. Dit autrement, le nombre in’est pas réel. La lettreiest en fait l’initiale du mot « impossible ».

Explication.Dire que l’addition et la multiplication dansCprolongent l’addition et la multiplication dansRveut dire que sizet z^′sont deux nombres complexes qui sont en particulier tous les deux des réels alorsz+z^′etz×z^′ ont respectivement pour valeur la somme habituelle des deux réelszet z^′et le produit habituel des deux réelsz et z^′.

Vocabulaire.Les éléments deCs’appellent lesnombres complexes. L’ensemble des nombres complexes contient l’ensemble des nombres réels (R⊂C) ou encore un nombre réel est un nombre complexe particulier. On donne au passage différents ensembles de nombres :

entiers naturels

entiers relatifs

nombres décimaux

nombres rationnels

nombres réels

nombres complexes

N ⊂_≠ Z ⊂_≠ D ⊂_≠ Q ⊂_≠ R ⊂_≠ C

Exemples.Les nombres3+2iou−i ou0 ouπou1−i√2ou3sont des nombres complexes.

Le nombre2est un entier naturel. Le nombre−3 est un entier relatif qui n’est pas un entier naturel.

Le nombre3,7est un nombre décimal qui n’est pas un entier relatif. Le nombre 1

3 est un nombre rationnel qui n’est pas un nombre décimal. Le nombre√2 est un nombre réel qui n’est pas un nombre rationnel.

Le nombreiest un nombre complexe qui n’est pas un nombre réel.

2) Forme algébrique d’un nombre complexe. Parties réelle et imaginaire

On vérifie maintenant que l’écriture d’un nombre complexe sous la formex+iy, oùxety sont deux réels, est unique.

Théorème 2.1)Soientxety deux réels. Six+iy=0alorsx=y=0.

2)Soient x,x^′,y ety^′ quatre réels. Six+iy=x^′+iy^′alorsx=x^′ety=y^′. Démonstration. 1)Soientxety deux réels tels quex+iy=0. Supposons queysoit non nul.

On peut alors écrirei= −x

y et en particulier,iest un réel. Ceci est faux et il était donc absurde de supposery non nul. On en déduit quey=0 puis quex=0.

2)Soient x,x^′,y et y^′ quatre réels tels quex+iy=x^′+iy^′. Alors(x−x^′) +i(y−y^′) =0. Comme les nombres x−x^′et y−y^′ sont deux réels, le résultat 1) permet d’affirmer quex−x^′=y−y^′=0 puis quex=x^′ety=y^′.

Le théorème précédent signifie entre autres que l’écriture d’un nombre complexe sous la formex+iyest unique.

On peut réexprimer ce résultat en disant que six,y,x^′ ety^′sont quatre réels tels que x+iy=x^′+iy^′, alors on peut identifier les coefficientset donc écrirex=x^′et y=y^′.

 Danger. Dans le théorème précédent, il est essentiel quexety soient desréels.

Par exemple,1+i×i=0=0+0×iet pourtant1≠0 eti≠0. Le théorème 2 justifie la définition suivante :

Définition 2. L’écriture d’un nombre complexe sous la formez=x+iy oùxety sont deux réels s’appelle la forme algébriqued’un nombre complexe.

Sixetysont deux réels, le nombrexest la partie réelledex+iyet le nombrey est lapartie imaginaire dex+iy.

Notation.Siz est un nombre complexe, sa partie réelle se note Re(z)et sa partie imaginaire se note Im(z). On peut donc écrire

pour tout nombre complexez,z=Re(z) +iIm(z).

Remarque.Le théorème 2 dit que deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

Exemples.La partie réelle de3−2iest 3et la partie imaginaire de3−2iest −2. La partie réelle de5iest0 et la partie imaginaire de5iest5. La partie réelle de4 est4 et la partie imaginaire de4est 0.

 Remarque.La partie réelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe sont deux nombres réels.

Par exemple, la partie imaginaire de3+2iest2et n’est pas2i.

Définition 3.Les nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle sont lesnombres réels.

Les nombres complexes dont la partie réelle est nulle sont lesimaginaires purs.

Dit autrement, pour tout nombre complexez,

1) zest réel⇔Im(z) =0,

2) zest imaginaire pur⇔Re(z) =0.

Remarque.Le nombre0est à la fois réel et imaginaire pur. C’est d’ailleurs le seul nombre complexe à la fois réel et imaginaire pur.

Les nombres non réels du type3−2isont quelquefois appelés « nombres imaginaires » mais ce vocabulaire est en contradiction avec le fait d’avoir classé le nombre réel0 parmi les imaginaires purs.

3) Opérations sur les nombres complexes

a) Définition des opérations dans C

Définition 4.On définit l’addition et la multiplication des nombres complexes de la façon suivante : 1)Pour tous réelsx,x^′, yet y^′,(x+iy) + (x^′+iy^′) = (x+x^′) +i(y+y^′).

2)Pour tous réelsx, x^′, yet y^′,(x+iy) × (x^′+iy^′) = (xx^′−yy^′) +i(xy^′+yx^′).

Remarque.Quandx=x^′=0 ety=y^′=1, on obtienti²= (0+1×i)(0+1×i) = (−1) +0×i= −1.

Théorème 3.L’addition et la multiplication dans Cobéissent aux mêmes règles de calcul que dansR: 1)Pour tous complexesz etz^′,z+z^′=z^′+zet z×z^′=z^′×z.

2)Pour tous complexesz,z^′et z^′′, (z+z^′) +z^′′=z+ (z^′+z^′′)et(z×z^′) ×z^′′= (z×z^′) ×z^′′. 3)Pour tout complexez,z+0=z etz×1=z.

4)Pour tout complexez,z+ (−z) =0.

5)Pour tous complexesz,z^′et z^′′, (z+z^′) ×z^′′=z×z^′′+z^′×z^′′. 6)Pour tout complexez,z×0=0.

Nous ne démontrerons ici que le 5).

Soientz,z^′et z^′′ trois nombres complexes. Posonsz=x+iy,z^′=x^′+iy^′ etz^′′=x^′′+iy^′′ oùx,x^′,x^′′,y,y^′ et y^′′sont six réels.

z×z^′′+z^′×z^′′= (x+iy)(x^′′+iy^′′) + (x^′+iy^′)(x^′′+iy^′′)

= (xx^′′−yy^′′) +i(xy^′′+yx^′′) + (x^′x^′′−y^′y^′′) +i(x^′y^′′+y^′x^′′)

=xx^′′+x^′x^′′−yy^′′−y^′y^′′+i(xy^′′+x^′y^′′+yx^′′+y^′x^′′)

= ((x+x^′)x^′′− (y+y^′)y^′′) +i((x+x^′)y^′′+ (y+y^′)x^′′) = ((x+x^′) +i(y+y^′))(x^′′+iy^′′)

= (z+z^′)z^′′.

Dans la liste des propriétés énoncées plus haut, il manque un résultat sur l’inverse d’un nombre complexe non nul.

Nous analyserons le problème de l’existence de l’inverse d’un nombre complexe non nul dans le paragraphe suivant.

Puisque les règles de calcul sont les mêmes dansCque dansR, on a aussi à disposition des identités remarquables : Théorème 4.1) Pour tous complexesz et z^′, (z+z^′)²=z²+2zz^′+z^′2.

2) Pour tous complexesz etz^′,(z−z^′)²=z²−2zz^′+z^′2. 3) Pour tous complexesz etz^′,(z−z^′)(z+z^′) =z²−z^′2.

4) Pour tous complexesz etz^′,(z+z^′)³=z²+3z²z^′+3zz^′2+z^′3. 5) Pour tous complexesz etz^′,(z−z^′)³=z²−3z²z^′+3zz^′2−z^′3. Démonstration.Soientz etz^′deux nombres complexes.

1)(z+z^′)²= (z+z^′) × (z+z^′) =z²+zz^′+z^′z+z^′2=z²+2zz^′+z^′2.‘

2)En remplaçantz^′par−z^′, on obtient(z−z^′)²= (z+ (−z^′))²=z²+2z(−z^′) + (−z^′)²=z²−2zz^′+z^′2. 3)(z−z^′)(z+z^′) =z²+zz^′−zz^′−z^′2=z²−z^′2.

4)

(z+z^′)³= (z+z^′)²× (z+z^′) = (z²+2zz^′+z^′2)(z+z^′) =z³+2z²z^′+z^′2z+z²z^′+2zz^′2+z^′3

=z²+3z²z^′+3zz^′2+z^′3, 5)En remplaçantz^′par−z^′, on obtient

(z−z^′)³= (z+ (−z^′))³=z²+3z²(−z^′) +3z(−z^′)²+ (−z^′)³=z²−3z²z^′+3zz^′2−z^′3.

Exercice 1. Calculer les nombres complexes suivants : 1)z1=3+2i−4+4i+2(7−i).

2)z2= (3−i)(4+3i).

3)z³= (4−i)²− (1+2i)(1−i).

Solution.1)z¹=3+2i−4+4i+2(7−i) = (3−4+14) +i(2+4−2) =13+4i.

2)z²= (3−i)(4+3i) =12+9i−4i−3i²=12+5i+3=15+5i.

3)z3= (4−i)²− (1+2i)(1−i) = (16−8i+i²) − (1−i+2i−2i²) = (16−8i−1) − (1−i+2i+2)

= (15−8i) − (3+i) =15−8i−3−i=12−9i.

Commentaire. 1)L’expression « calculer le nombre complexe » signifie : obtenir la forme algébrique de ce nombre complexe, forme sous laquelle on peut lire sa partie réelle et sa partie imaginaire.

2)Les calculs précédents montrent bien la première difficulté que l’on rencontre quand on calcule avec des nombres complexes : l’égalitéi²= −1 qui est cause de nombreuses erreurs de signe. Nous vous conseillons d’être patient ou patiente et, dans un premier temps, de faire beaucoup d’étapes de calcul, l’idéal étant de ne faire qu’une seule chose par étape. Le professionalisme viendra plus tard.

b) Inverse d’un nombre complexe non nul

Soitzun nombre complexe non nul. On va montrer ci-dessous que zadmet un inverse (c’est-à-dire que 1 z existe) et on va apprendre à déterminer cet inverse. Pour cela, on donne d’abord une nouvelle identité remarquable dansC, utile par la suite.

Théorème 5.Pour tous réelsxety,(x+iy)(x−iy) =x²+y². Démonstration.Soientxety deux nombres réels.

(x+iy)(x−iy) =x²− (iy)²=x²−i²y²=x²+y².

Remarque.L’identité précédente se lit aussi de droite à gauche : x²+y²= (x+iy)(x−iy). DansR, on a pas de factorisation intéressante de x²+y²mais ce n’est plus le cas dans C.

On peut maintenant démontrer que tout nombre complexe non nul a un inverse et donner cet inverse : Théorème 6.Soitz un nombre complexe non nul. Il existe un nombre complexez^′tel que z×z^′=1. z^′est l’inverse dez ou encorez^′=1

z.

De plus, si on pose z=x+iyoùxet y sont deux réels, alors 1 z = x

x²+y² −i y x²+y².

Démonstration.Soitzun nombre complexe non nul. Posonsz=x+iyoùxety sont deux réels.

Puisque zn’est pas nul, l’un au moins des deux réelsxouy n’est pas nul. On en déduit quex² et y²sont deux réels positifs, l’un au moins de ces deux réels étant strictement positif puis que x²+y²est un réel strictement positif. En particulier, le réelx²+y² n’est pas nul.

On divise alors les deux membres de l’identité remarquable du théorème 5 par le réel non nulx²+y²et on obtient (x+iy)( x

x²+y²−i y

x²+y²) =1, ce qui démontre le résultat.

La démonstration du théorème précédent fournit implicitement le procédé utilisé dans la pratique pour calculer l’inverse dex+iyoùxety sont deux réels tels quex+iy≠0 :

1

x+iy = x−iy (x+iy)(x−iy) =

x−iy x²+y² = x

x²+y²−i y x²+y². On a multiplié le numérateur et le dénominateur de la fraction 1

x+iy par le nombrex−iy(le nombrex−iy s’appelle leconjuguédu nombrex+iyet sera étudié au paragrapheIII). L’effet de cette transformation est de rendre réel le dénominateur. Une fois ce travail effectué, on a effectivement calculé le nombre 1

x+iy car on peut maintenant donner sa partie réelle x

x²+y² et sa partie imaginaire− y x²+y². A connaître.Puisquei× (−i) = −i²=1,

1

i = − i et 1

− i = i.

Exercice 2. Calculer les nombres complexes suivants : 1)z1= 1

3−2i. 2)z2= 4+i

1+2i. Solution.1)z1= 1

3−2i = 3+2i (3−2i)(3+2i) =

3+2i

3²+ (−2)² = 3+2i 13 = 3

13+ 2 13i.

2)z2= 4+i

1+2i = (4+i)(1−2i) (1+2i)(1−2i) =

4−8i+i−2i²

1²+2² =6−7i 5 =6

5 −7 5i.

Commentaire.Dans les deux calculs, on a utilisé l’identité remarquable(x+iy)(x−iy) =x²+y². Par exemple, pour (3−2i)(3+2i),x=3 ety= −2(et non pasy= −2i) puis(3−2i)(3+2i) =x²+y²=3²+ (−2)².

Théorème 7.DansC, un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.

Démonstration.Tout d’abord, pour tout nombre complexez,0×z=0.

Réciproquement, soientz etz^′deux nombres complexes tels quez×z^′=0. Siz≠0, alors 1

z existe puis z×z^′=0⇒

1

z×z×z^′= 1

z×0⇒z^′=0.

c) Equations du premier degré dans C

Soientaet bdeux nombres complexes tels quea≠0 et soit(E)l’équationaz+b=0 d’inconnuez.

Pour résoudre cette équation du premier degré dansC, on ne pose pasz=x+iyoùxet ysont deux réels pour chercher ensuitexety mais on cherche directement le nombre complexez:

az+b=0⇔az+b−b=0−b⇔az= −b⇔ 1

a×a×z=1

a× (−b)⇔z= −b a. Exercice 3. Résoudre dansCles équations suivantes :

1)(3−i)z+1+5i=0.

2)((4−3i)z−5)((1+i)z+1−i) =0. Solution.1)Soitz un nombre complexe.

(3−i)z+1+5i=0⇔(3−i)z= −1−5i⇔z= −1−5i

3−i ⇔z= (−1−5i)(3+i) (3−i)(3+i)

⇔z= −3−i−15i+5

3²+ (−1)² ⇔z= 2−16i

10 ⇔z= 1−8i 5 . L’ensemble des solutions de l’équation proposée est{1

5−8 5i}.

2)Soitz un nombre complexe.((4−3i)z−5)((1+i)z+1−i) =0⇔(4−3i)z−5=0ou(1+i)z+1−i=0. (4−3i)z−5=0⇔z= 5

4−3i ⇔z= 5(4+3i)

(4−3i)(4+3i)⇔z= 5(4+3i) 4²+ (−3)²

⇔z= 5(4+3i)

25 ⇔z= 4+3i 5 . et

(1+i)z+1−i=0⇔z= −1+i

1+i ⇔z= (−1+i)(1−i)

(1+i)(1−i) ⇔z= −1+i+i+1 1²+1²

⇔z=2i

2 ⇔z=i.

L’ensemble des solutions de l’équation proposée est{i,4 5+3

5i}.

Exercice 4. Pour tout nombre complexez, on posef(z) = (1+2i)z−1 (3+i)z−1 1)Déterminer le domaine de définition de la fonctionf.

2)Résoudre dans Cl’équationf(z) =0.

Solution.1)On noteD_f le domaine de définition de la fonctionf.

Soitzun nombre complexe.f(z)existe si et seulement si(3+i)z−1≠0. Or (3+i)z−1=0⇔z= 1

3+i ⇔z= 3−i

(3+i)(3−i)z= 3−i 10 . DoncD_f =C∖ { 3

10− 1 10i}. 2)Soitz un nombre complexe.

f(z) =0⇔ (1+2i)z−1

(3+i)z−1 =0⇔(1+2i)z−1=0et(3+i)z−1≠0⇔z= 1

1+2i etz≠ 3−i 10

⇔z=1−2i 5 .

L’ensemble des solutions de l’équation proposée est{1 5−2

5i}.

II. Représentation géométrique d’un nombre complexe

Le plan est rapporté à un repère orthonormé(O,Ð→u ,Ð→v).

Remarque.Quand on fait de la géométrie faisant intervenir les nombres complexes, on ne peut pas noter (O,Ð→

i ,Ð→

j) le repère car la lettreiest déjà utilisée pour désigner un certain nombre complexe.

Vocabulaire.A tout pointM de coordonnées(x, y), on peut associer le nombre complexe zM =x+iy. On dit alors quezM est l’affixedu pointM. Pour noter le fait qu’un nombre complexezest l’affixe d’un certain point M, on peut écrireM(z).

A tout vecteurÐ→w de coordonnées(x, y), on peut associer le nombre complexezÐw→=x+iy. On dit alors quezÐw→

est l’affixedu vecteurÐw→. Pour noter le fait qu’un nombre complexezest l’affixe d’un certain vecteurÐw→, on peut écrireÐ→w(z).

Inversement, siz=x+iyoùxety sont deux réels, le pointM de coordonnées (x, y)est l’image ponctuelledu nombre complexezdans le plan et le pointÐ→u de coordonnées(x, y)est l’image vectorielledu nombre complexe z dans le plan.

Construisons le pointM d’affixez=3+2iet le vecteurÐw→d’affixez^′= −1+2i.

b

M(z)

Ð→u Ð→v

O 3

2 Ðw→

−1 2

Exercice 5. 1)Déterminer les affixes des points suivants :

1 2 3

−1

−2

−3

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

b

b b b

b b

b

A1

A2

A3

A⁴

A5

A6

A⁷ Ð→u Ð→v

O

2)Placer les points d’affixes respectivesz¹= −2−i,z²= −i,z³=4 etz⁴= −1+2i.

Solution.1)On notez1,z2,z3,z4,z5,z6 etz7 les affixes des pointsA1,A2,A3,A4,A5,A6 etA7. z1=3+2i,z2= −3,z3=i,z4=1−i,z5= −2i,z6=1etz7=0.

2)On note A1,A2,A3 etA4 les images ponctuelles des nombres complexesz1,z2,z3 etz4.

1 2

−1

−2

−3

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

b b b

b

A1

A2

A³ A4

Ð→u Ð→v

O

Théorème 8.1) SoientAetB deux points. L’affixe du milieuI du segment[AB]estzI =zA+zB

2 . 2)Soient A,B etC trois points. L’affixe du centre de gravitéGdu triangleABC est zG= zA+zB+zC

3 .

3)Soient AetB deux points. L’affixe du vecteurÐ→

AB estzÐ→

AB=z_B−z_A.

4) a) SoientÐ→w et Ðw→^′ deux vecteurs. L’affixe du vecteurÐ→w+Ð→w^′estzÐ→w+Ð→w^′=zÐw→+zÐ→w^′. b) SoientÐ→w un vecteur et kun réel. L’affixe du vecteurkÐ→w estz_kÐ→w=kzÐ→w.

Démonstration. 1)Notons respectivement(xA, yA)et(xB, yB)les coordonnées des pointsAetBdans le repère (O,Ð→u ,Ð→v). Les coordonnées du pointIdans le repère(O,Ð→u ,Ð→v)sont(x_A+x_B

2 ,y_A+y_B

2 ). Donc, l’affixe du pointI est

z_I= xA+xB

2 +iyA+yB

2 = 1

2(x_A+iy_A+x_B+iy_B)= 1

2(z_A+z_B).

2)Notons respectivement(x_A, y_A),(x_B, y_B)et(x_C, y_C)les coordonnées des pointsA,B et Cdans le repère (O,Ð→u ,Ð→v). Les coordonnées du pointGdans le repère(O,Ð→u ,Ð→v)sont(x_A+x_B+x_C

3 ,y_A+y_B+y_C

3 ). Donc, l’affixe du point Gest

zG=xA+xB+xC

3 +iyA+yB+yC

3 =1

3(xA+iyA+xB+iyB+xC+iyC)= 1

3(zA+zB+zC). 3)Notons respectivement(x_A, y_A)et(x_B, y_B)les coordonnées des pointsAet B dans le repère (O,Ð→u ,Ð→v). Les coordonnées du vecteurÐ→

AB dans le repère(O,Ð→u ,Ð→v)sont(x_B−x_A, y_B−y_A). Donc, l’affixe du vecteur Ð→

AB est

zÐ→

AB=(xB−xA)+i(yB−yA)=(xB+iyB)−(xA+iyA)=zB−zA.

4) a) et b)Notons respectivement(x, y)et(x^′, y^′)les coordonnées des vecteursÐw→etÐw→^′dans le repère(O,Ð→u ,Ð→v). Les coordonnées du vecteur Ðw→+Ð→w^′sont(x+x^′, y+y^′)et les coordonnées du vecteurkÐw→sont(kx, ky). Par suite,

zÐw+Ð→ w→^′=(x+x^′)+i(y+y^′)=(x+iy)+(x^′+iy^′)=zÐ→w+zÐw→^′ et z_kÐw→=kx+iky=k(x+iy)=kzÐw→.

Remarque.Le 4)a) a pour conséquence que si on noteM,M^′etM^′′les points d’affixes respectivesz,z^′etz+z^′, le pointM^′′ est le point tel que le quadrilatèreOM M^′′M^′soit un parallélogramme.

M(z) M^′(z^′)

M^′′(z+z^′)

Ð→u Ð→v

b b

b

O

Exercice 6. Le plan est rapporté à un repère orthonormé(O,Ð→u ,Ð→v). On considère les points A(2,1),B(−5,3)et C(−2,0).

1)Déterminer l’affixe du centre de gravité du triangleABC.

2)Déterminer l’affixe du pointD tel que le quadrilatèreADBC soit un parallélogramme.

Solution.1)SoitGle centre de gravité du triangleABC.

z_G= 1

3(z_A+z_B+z_C)=1

3(2+i−5+3i−2)= −5 3+4

3i.

L’affixe deGest−5 3+4

3iou encore les coordonnées deGsont(−5 3,4

3).

2)SoitDle point tel que le quadrilatèreADBCsoit un parallélogramme. On aÐ→

AD=Ð→

CBet doncz_D−z_A=z_B−z_C puisz_D=z_A+z_B−z_C=2+i−5+3i+2= −1+4i.

L’affixe du pointDest −1+4iou encore le pointDa pour coordonnées(−1,4).

1 2 3 4

−1

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

A B

C

Ð→u Ð→v

b b b

b b

G D

O

Remarque.Les points d’affixe un nombre réel sont les points de l’axe des abscisses et les points du plan d’affixe un nombre imaginaire pur sont les points de l’axe des ordonnées.

Exercice 7. Le plan est rapporté à un repère orthonormé(O,Ð→u ,Ð→v). Pour tout nombre complexe z, on pose z^′=(1−i)z+2+i.

Déterminer et représenter l’ensemble des pointsM du plan d’affixeztels que z^′soit réel.

Solution.Soientxety deux réels. SoitM le point du plan de coordonnées(x, y)puis soitz=x+iyson affixe.

z^′=(1−i)z+2+i=(1−i)(x+iy)+2+i=x+iy−ix+y+2+i=(x+y+2)+i(−x+y+1). Puisque xet ysont des réels, Re(z^′)=x+y+2et Im(z^′)= −x+y+1. Par suite,

z^′∈R⇔Im(z^′)=0⇔−x+y+1=0⇔y=x−1. L’ensemble cherché est la droite d’équationy=x−1.

1 2

−1

−2

−3

1 2 3 4

−1

−2

−3 O Ð→u

Ð→v

III. Conjugué d’un nombre complexe

1) Définition du conjugué

Définition 5.Soientxetydeux réels puisz=x+iy. Le conjugué du nombrezest le nombre complexe noté z défini par

z = x − iy

On peut réexprimer la définition précedente sans utiliser les lettresxety : pour tout nombre complexez,z=Re(z)−iIm(z). Par exemple,(3+2i)=3−2i,(−5)= −5 eti= −i.

2) Représentation géométrique du conjugué et de l’opposé

On représente dans le plan complexe un pointM1 d’affixez puis les pointsM2,M3et M4 d’affixes respectives z,−z et−z.

bb

bb

M¹(z)

M2(z) M3(−z)

M4(−z)

Le pointM3d’affixe−z est le symétrique du pointM1 d’affixez par rapport au pointO alors que le point M²d’affixez est le symétrique du pointM¹d’affixez par rapport à l’axe(Ox). On doit en particulier bien faire attention au fait quez n’est pas−z.

3) Propriétés de calcul du conjugué

Théorème 9.1)Pour tous nombres complexesz etz^′,(z+z^′)=z+z^′.

2) Pour tout nombre complexezet tout nombre réelk, (kz)=k z.

3) a)Pour tous nombres complexes zet z^′,(z×z^′)=z×z^′. b)Pour tout nombre complexe non nulz,(1

z)=1 z.

c) Pour tout nombre complexez et tout nombre complexe non nulz^′, (z z^′)= z

z^′. d)Pour tout nombre complexez et tout entier naturel non nuln,zⁿ=zⁿ. 4) Pour tout nombre complexez,(z)=z.

On peut résumer les résultats précédents en disant que

« le conjugué fonctionne bien avec toutes les opérations ».

Par exemple,(3−iz+(3−i)²

1+(1+i)z )=3+iz+(3+i)²

1+(1−i)z (encore une fois, le conjugué de zn’est pas−z).

Démonstration. 1)Soientz etz^′deux nombres complexes. Posonsz=x+iyet z^′=x^′+iy^′oùx, x^′,y et y^′ sont quatre réels.

(z+z^′)=(x+iy)+(x^′+iy^′)=(x+x^′)+i(y+y^′)=(x+x^′)−i(y+y^′)=(x−iy)+(x^′−iy^′)

=z+z^′.

2)Soient zun nombre complexe etkun réel. Posonsz=x+iyoùxety sont deux réels.

(kz)=k(x+iy)=kx+iky=kx−iky=k(x−iy)

=kz.

3) a) Soientzet z^′deux nombres complexes. Posonsz=x+iyetz^′=x^′+iy^′oùx,x^′,y ety^′sont quatre réels.

(z×z^′)=(x+iy)×(x^′+iy^′)=(xx^′−yy^′)+i(xy^′+yx^′)=(xx^′−yy^′)−i(xy^′−yx^′)

=(x−iy)×(x^′−iy^′)=z×z^′.

b)Soitz un nombre complexe non nul. D’après la propriété 1), z×(1

z)=(z×1

z)=1=1, et donc(1

z)= 1 z.

c)Soitz un nombre complexe etz^′un nombre complexe non nul. D’après la propriété 1) et la propriété 3)b), (z

z^′)=(z× 1

z^′)=z×(1

z^′)=z× 1 z^′ = z

z^′.

4)Soitz un nombre complexe. Posonsz=x+iyoùxety sont deux réels. Alorsxet−y sont deux réels et (z)=(x−iy)=x+iy=z.

Exercice 8. Résoudre dansCles équations suivantes : 1)(1−i)z−2+i=0.

2)(3+2i)z+(1−i)z=1.

Solution.1)Soitz un nombre complexe.

(1−i)z−2+i=0⇔(1+i)z−2−i=0(en conjuguant les deux membres de l’équation)

⇔z= 2+i

1+i ⇔z= (2+i)(1−i)

(1+i)(1−i)⇔z= 2−2i+i+1

1²+1² ⇔z= 3−i 2 . L’ensemble des solutions de l’équation proposée est{3

2−1 2i}.

2)Soitz un nombre complexe. Posonsz=x+iyoùxety sont deux réels.

(3+2i)z+(1−i)z=(3+2i)(x+iy)+(1−i)(x−iy)=3x+3iy+2ix−2y+x−iy−ix−y

=(4x−3y)+i(x+2y). Par suite,

(3+2i)z+(1−i)z=1⇔{ 4x−3y=1

x+2y=0 (par identification des parties réelles et imaginaires)

⇔{ x= −2y

4(−2y)−3y=1 ⇔⎧⎪⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎪⎩

y= − 1 11 x= 2

11 .

L’ensemble des solutions de l’équation proposée est{ 2 11− 1

11i}.

Théorème 10.1) Pour tout nombre complexez,zest réel si et seulement si z=z.

2)Pour tout nombre complexez,z est imaginaire pur si et seulement siz= −z.

Démonstration. 1)Soitzun nombre complexe.

z=z⇔Re(z)−iIm(z)=Re(z)+iIm(z)⇔2iIm(z)=0⇔Im(z)=0⇔zest réel.

2)Soitz un nombre complexe.

z= −z⇔Re(z)−iIm(z)= −Re(z)−iIm(z)⇔2Re(z)=0⇔Re(z)=0⇔zest imaginaire pur.

Théorème 11.Pour tout nombre complexez,

z+z=2Re(z)etz−z=2iIm(z) et donc aussi

Re(z)= z+z

2 et Im(z)= z−z 2i . Démonstration.Soitzun nombre complexe.

z+z=Re(z)+iIm(z)+Re(z)−iIm(z)=2Re(z)etz−z=Re(z)+iIm(z)−Re(z)+iIm(z)=2iIm(z).

Remarque.Avec les formules du théorème 11, on retrouve les caractérisations du théorème 10 car par exemple z∈R⇔Im(z)=0⇔ z−z

2i =0⇔z−z=0⇔z=z.

IV. Module d’un nombre complexe

1) Définition du module d’un nombre complexe

Le plan est rapporté à un repère orthonormé(O,Ð→u ,Ð→v).

Définition 6.Soientzun nombre complexe puisM le point du plan d’affixez. Le module du nombrez est le nombre réel positif noté ∣z∣défini par

∣ z ∣ = OM

Ð→u Ð→v

O

bM(z)

∣z∣=OM

On peut donner deux autres écritures du module d’un nombre complexe.

Théorème 12.Soient xety deux réels puisz=x+iy.

∣z∣=√

x²+y² et aussi∣z∣=√ z×z.

Démonstration.Soientxety deux réels puisz=x+iy. SoitM le point d’affixez.

On sait que la distanceOM est égale à√

x²+y²et donc ∣z∣=√

x²+y². D’autre part, d’après le théorème 5 de la page 4,z×z=(x+iy)(x−iy)=x²+y² et on a donc aussi∣z∣=√

z×z.

Exemple.∣3−4i∣=√

3²+(−4)²=√9+16=√25=5.

 Remarque 1. Le symbole « racine carrée » n’est autorisé que pour les réels positifs, ce qui est le cas du nombrex²+y²=z×z, et le symbole « racine carrée » est interdit pour des nombres complexes qui ne sont pas des réels positifs. En effet, le symbole√

2par exemple désigne l’unique réel positif dont le carré est égal à2. On note qu’il existe un autre réel dont le carré vaut2: le nombre−√

2.

Mais pour le nombre−2ipar exemple, on a(1−i)²=(−1+i)²= −2iet on ne peut pas parler de laracine carrée de−2icar on ne sait pas choisir entre −1+iet 1−i. On ne peut donc pas écrire le nombre−2isous le symbole√ .

Remarque 2.Revenons sur le calcul de l’inverse d’un nombre complexe non nul. Soitzun nombre complexe non nul. Posonsz=x+iyoùxet y sont deux réels, l’un au moins de ces deux réels n’étant pas nul. On rappelle que l’inverse dezse calcule ainsi : 1

z = 1

x+iy= x−iy

(x+iy)(x−iy)= x−iy x²+y² = x

x²+y² −i y x²+y². Pour rendre réel le dénominateur de la fraction 1

z, nous avons multiplié par le conjugué dez. Ce faisant, nous avons obtenu en dénominateurz×z=∣z∣². Le calcul précédent peut donc se réécrire

1

z = z

z × z = z

∣ z ∣

.

Remarque 3.Si zest un nombre complexe qui est en particulier un nombre réel le module du réel zn’est autre que la valeur absolue du réelz.

Théorème 13.Soient A(x_A, y_A)etB(x_B, y_B)deux points du plan.

AB=∣z_B−z_A∣=√

(x_B−x_A)²+(y_B−y_A)². Démonstration.L’égalitéAB=√

(xB−xA)²+(yB−yA)² est connue depuis longtemps.

D’autre part,z_B−z_A=(x_B−x_A)+i(y_B−y_A)et donc∣z_B−z_A∣=√

(x_B−x_A)²+(y_B−y_A)²=AB.

Exercice 9. Le plan est rapporté à un repère orthonormé(O,Ð→u ,Ð→v). On considère les points A(1,1),B(−3,−1)et C(−6,5).

Montrer que le triangleABC est rectangle enB.

Solution.

1 ère solution.Les affixes des pointsA,B et C sont respectivementzA=1+i,zB= −3−ietzC= −6+5i.

• AB=∣zB−zA∣=∣(−3−i)−(1+i)∣=∣−4−2i∣=√

(−4)²+(−2)²=√20.

• CB=∣zB−zC∣=∣(−3−i)−(−6+5i)∣=∣3−6i∣=√

3²+(−6)²=√45.

• AC=∣zA−zC∣=∣(1+i)−(−6+5i)∣=∣7−4i∣=√

7²+(−4)²=√ 65. Par suite,

BA²+BC²=20+45=65=∣zA−zC∣²=AC².

D’après la réciproque du théorème dePythagore, le triangleABC est rectangle enB.

2 ème solution.Les coordonnées des vecteurs Ð→

BAetÐ→

BC sont respectivement(4,2)et(−3,6)puis Ð→BA.Ð→

BC=4×(−3)+2×6= −12+12=0. Par suite,(BA)–(BC)et donc le triangleABC est rectangle enB.

Théorème 14.1) Pour tout nombre complexez,∣z∣⩾0.

2)Pour tout nombre complexez :∣z∣=0⇔z=0. Démonstration. 1)est immédiat.

2)∣0∣=√

0²+0²=0et donc siz=0, alors∣z∣=0. Réciproquement, soitzun nombre complexe tel que∣z∣=0. SoitM le point du plan d’affixe z. On a OM=0puisM =O et doncz=0.

mais de manière plus compliquée (on avait montré que sixet y étaient deux réels tels quex²+y²=0, alorsx=y=0.)

Remarque 2.Dans le théorème précédent, on a écrit∣z∣⩾0. Ceci est une inégalité entre nombres réels et on a bien sûr le droit d’écrire des inégalités entre nombres réels. Par contre, on n’a pas le droit d’écrire des inégalités entre des nombres complexes qui ne sont pas des nombres réels.

Donnons une vague justification de cette interdiction. Si on se permet d’écrire des inégalités entre nombres complexes, dans quel ordre sont les nombres0et i? Siiest positif, alorsi²=i×i= −1 est positif ce qui est impossible et siiest négatif, alors−iest positif puis(−i)²= −1 est positif ce qui est également impossible.

Finalement, on n’arrive pas à classer les nombres0 eti.

2) Propriétés algébriques du module d’un nombre complexe

Théorème 15.Pour tout nombre complexez,∣z∣=∣−z∣=∣−z∣=∣z∣.

Démonstration.Soitzun nombre complexe. Posonsz=x+iyoùxet y sont deux réels. Les quatre nombres complexesz,z,−zet −zs’écrivent sous la forme±x±iy. Mais alors

∣z∣=∣−z∣=∣−z∣=√

(±x)²+(±y)²=√

x²+y²=∣z∣.

Les quatre pointsM¹,M²,M³ etM⁴d’affixes respectivesz,z,−zet −z vérifientOM¹=0M²=OM³=OM⁴.

bb

bb

M1(z)

M2(z) M3(−z)

M4(−z)

O

∣z∣

∣z∣

∣−z∣

∣−z∣

Théorème 16.1) Pour tous nombres complexesz etz^′,∣z×z^′∣=∣z∣×∣z^′∣. 2)Pour tout nombre complexe non nulz,∣1

z∣= 1

∣z∣. 3)Pour tout complexezet tout complexe non nul z^′,∣z

z^′∣= ∣z∣

∣z^′∣. 4)Pour tout complexezet tout entier naturel non nuln,∣zⁿ∣=∣z∣ⁿ. Démonstration. 1)Soientz etz^′deux nombres complexes. D’après le théorème 9, page 9,

∣z×z^′∣²=(z×z^′)×(z×z^′)=(z×z)×(z^′×z^′)=∣z∣²×∣z^′∣²=(∣z∣×∣z^′∣)².

Puisque les nombres∣z×z^′∣et∣z∣×∣z^′∣sont des réels positifs et ont des carrés égaux, on en déduit que ces nombres sont égaux.

2)Soitz un nombre complexe non nul.

∣z∣×∣1

z∣=∣z×1

z∣=∣1∣=√

1²+0²=1, et donc∣1

z∣= 1

∣z∣.

3)Soient zun nombre complexe etz^′un nombre complexe non nul. D’après 1) et 2)

∣z

z^′∣=∣z× 1

z^′∣=∣z∣×∣1

z^′∣=∣z∣× 1

∣z^′∣ = ∣z∣

∣z^′∣.

4)Soitz un nombre complexe. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel non nuln,∣zⁿ∣=∣z∣ⁿ.

• Pourn=1,∣z¹∣=∣z∣=∣z¹∣et donc la formule proposée est vraie quandn=1.

• Soitn⩾1. Supposons que ∣zⁿ∣=∣z∣ⁿ. D’après la propriété 1), on a alors

∣zⁿ⁺¹∣=∣zⁿ×z∣=∣zⁿ∣×∣z∣=∣z∣ⁿ×∣z∣=∣z∣ⁿ⁺¹. Le résultat est démontré par récurrence.

Exercice 10.Calculer le module de

√3+i

1−i et le module de(1+i)⁵. Solution.

∣√3+i

1−i ∣= ∣√3+i∣

∣1−i∣ =

√(√3)²+1²

√1²+(−1)² = √4

√2 =√2 et

∣(1+i)⁵∣=∣1+i∣⁵=(√

1²+1²)⁵=(√2)⁵=4√2.

Remarque.√3+i Il aurait été très maladroit de rendre d’abord réel le dénominateur de la fraction en écrivant 1−i =(√3+i)(1+i)

(1−i)(1+i) = √3−1 2 +i

√3+1

2 ou aussi de développer la puissance 5-ème avant de calculer son module.

Exercice 11.Déterminer l’ensemble des nombres complexesz tels que z−1

z+1 soit de module1.

Solution.Soitzun nombre complexe distinct de −1. SoientM le point d’affixez,Ale point d’affixe1et B le point d’affixe−1.

∣z−1

z+1∣=1⇔ ∣z−1∣

∣z+1∣ =1⇔∣z−1∣=∣z+1∣⇔∣z−zA∣=∣z−zB∣⇔AM=BM

⇔M appartient à la médiatrice du segment[AB]

⇔M appartient à l’axe(Oy)

⇔zest imaginaire pur.

L’ensemble des nombres complexes ztels que z−1

z+1 soit de module1est l’ensemble des imaginaires purs.

3) L’inégalité triangulaire

Théorème 17.Pour tous nombres complexes zet z^′,∣z+z^′∣⩽∣z∣+∣z^′∣. Démonstration.Soientzetz^′deux nombres complexes. SoientÐw→etÐ→

w^′les vecteurs d’affixes respectivesz etz^′.

∣z+z^′∣=∥Ð→w+Ð→

w^′∥⩽∥Ð→w∥+∥Ð→

w^′∥=∣z∣+∣z^′∣.

O

b

b

b

∣z∣ ∣z∣

∣z^′∣

∣z^′∣

∣z+z^′∣ M(z)

M^′(z^′)

M^′′(z+z^′)

On peut aussi donner une démonstration n’utilisant que les nombres complexes et n’utilisant pas des résultats antérieurs sur les vecteurs.

∣z+z^′∣²=(z+z^′)×(z+z^′)=(z+z^′)×(z+z^′)=zz+zz^′+z^′z+z^′z^′

=∣z∣²+(zz^′)+(zz^′)+∣z^′∣²=∣z∣²+2Re(zz^′)+∣z^′∣². Maintenant, siX etY sont deux réels etZ=X+iY,

Re(Z)=X ⩽∣X∣= X²⩽ X²+Y²=∣Z∣. Par suite,

∣z+z^′∣²=∣z∣²+2Re(zz^′)+∣z^′∣²

⩽∣z∣²+2∣zz^′∣+∣z^′∣²=∣z∣²+2∣z∣∣z^′∣+∣z^′∣²=∣z∣²+2∣z∣∣z^′∣+∣z^′∣²=(∣z∣+∣z^′∣)². Puisque les deux nombres∣z+z^′∣et∣z∣+∣z^′∣sont des réels positifs et que la fonctiont↦√

test croissante sur[0,+∞[, on en déduit que

∣z+z^′∣=√

∣z+z^′∣²⩽√

(∣z∣+∣z^′∣)²=∣z∣+∣z^′∣.

V. Équations du second degré à coefficients réels

1) Forme canonique d’un trinôme du second degré

Soienta, betc trois nombres réels tels quea≠0. Pour tout nombre complexez, on a

az²+bz+c=a[z²+ b az+ c

a]=a[z²+2× b 2az+ b²

4a² − b² 4a²+ c

a]

=a[(z²+2× b 2az+ b²

4a²)−( b² 4a² −c

a)]=a[(z+ b 2a)

2

−( b² 4a²−c

a)]

=a[(z+ b 2a)

2

−b²−4ac

4a² ] (∗).

Cette dernière écriture est laforme canoniquedu trinôme du second degréaz²+bz+c. La différence fondamentale entre l’expressionaz²+bz+c et l’expressiona[(z+ b

2a)

2

−b²−4ac

4a² ]est que dans la deuxième expression, la lettre zapparaît une fois et une seule. On comprend ainsi les opérations successives effectuées à partir de la variablez.

2) Résolution dans C des équations du second degré à coefficients réels

Soienta, betc trois nombres réels tels quea≠0. On note(E)l’équationaz²+bz+c=0 d’inconnue le nombre complexez. On pose

∆ = b

− 4 ac.

Soitzun nombre complexe. D’après la formule(∗)du paragraphe précédent,

az²+bz+c=0⇔a[(z+ b 2a)

2

−b²−4ac

4a² ]=0⇔(z+ b 2a)

2

−b²−4ac 4a² =0

⇔(z+ b 2a)

2

− ∆ 4a² =0. 1er cas.Supposons que∆>0. Alors

az²+bz+c=0⇔(z+ b 2a)

2

− ∆

4a² =0⇔(z+ b 2a)

2

−(√∆ 2a )

2

=0

⇔(z+ b 2a−

√∆

2a ) (z+ b 2a+

√∆

2a )=0⇔(z− −b+√

∆

2a )(z− −b−√

∆ 2a )=0

⇔z= −b+√

∆

2a ouz= −b−√

∆ 2a .

Ainsi, si∆>0, l’équation(E)admet deux solutions réelles distinctesz1= −b+√∆

2a etz2= −b−√∆ 2a . 2ème cas.Supposons que ∆=0. Alors

az²+bz+c=0⇔(z+ b 2a)

2

− ∆

4a² =0⇔(z+ b 2a)

2

=0

⇔z+ b

2a=0⇔z= − b 2a. Ainsi, si∆=0, l’équation(E)admet une solution réellez1= − b

2a. Cette solution est dite double car le nombre z1 est « deux fois » solution de l’équation(z+ b

2a) (z+ b 2a)=0. 3ème cas.Supposons que ∆<0. Alors−∆>0puis

az²+bz+c=0⇔(z+ b 2a)

2

− −∆i²

4a² =0⇔(z+ b 2a)

2

−(i√

−∆ 2a )

2

=0

⇔(z− −b+i√

−∆

2a ) (z− −b−i√

−∆ 2a )=0

⇔z= −b+i√

−∆

2a ouz= −b−i√

−∆ 2a .

Ainsi, si∆<0, l’équation(E)admet deux solutions non réelles conjuguées (et donc distinctes)z1= −b+i√

−∆ 2a et z2= −b−i√

−∆ 2a .

Théorème 18. Soient a, b et c trois réels tels que a≠0. Soit(E)l’équation az²+bz+c=0 d’inconnue le nombre complexez.

On pose

∆ = b

− 4 ac.

• Si∆>0, l’équation(E)admet deux solutions réelles distinctes

z

= − b + √

∆

2 a et z

= − b − √

∆ 2 a .

• Si∆=0, l’équation(E)admet une solution réelle double

z

= z

= − b 2 a .

• Si∆<0, l’équation(E)admet deux solutions non réelles conjuguées

z

= − b + i √

− ∆

2 a et z

= − b − i √

− ∆ 2 a .

Exercice 12.Résoudre dansCl’équation(E): z²−6z+13=0. Solution.Le discriminant∆de l’équation (E)est :

∆=(−6)²−4×13=36−52= −16<0. L’équation(E)admet donc deux solutions non réelles conjuguées :

z¹= −(−6)+i√

−(−16)

2 = −(−6)+i√ 16

2 = 6+4i

2 =3+2i et z2=z1=3−2i. L’ensemble des solutions de l’équation(E)dansCest {3+2i,3−2i}.

Remarque.Dans les trois cas (∆<0,∆=0 et∆>0), on a une écriture unique des solutions :

Théorème 18 bis. Soient a,b et c trois réels tels que a≠0. Soit (E)l’équationaz²+bz+c d’inconnue le nombre complexez.

On pose

∆ = b

− 4 ac,

et on note δun nombre complexe tel queδ²=∆. L’équation(E)admet deux solutions dansC

z

= − b + δ

2 a et z

= − b − δ

2 a .

Exercice 12 bis.Résoudre dansCl’équation(E):z²−6z+13=0. Solution.Le discriminant∆de l’équation (E)est :

∆=(−6)²−4×13=36−52= −16=(4i)². L’équation(E)admet donc deux solutions non réelles conjuguées :

z1= −(−6)+4i

2 =3+2i

et z2=z1=3−2i. L’ensemble des solutions de l’équation(E)dansCest {3+2i,3−2i}.

Exercice 13.Soitθ∈]0, π[. Résoudre dansCl’équation(E):z²−2zcos(θ)+1=0. Solution.Soitθun réel élément de]0, π[. Le discriminant∆de l’équation(E)est :

∆=4 cos²(θ)−4=4(cos²(θ)−1)= −4 sin²(θ)<0 (carθ∈]0, π[).

Puisque ∆=(2isin(θ))², l’équation (E)admet deux solutions non réelles conjuguées z¹= 2 cos(θ)+2isin(θ)

2 =cos(θ)+isin(θ)

etz2=z1=cos(θ)−isin(θ). L’ensemble des solutions de l’équation(E)dansCest{cos(θ)+isin(θ),cos(θ)−isin(θ)}.

VI. Argument d’un nombre complexe non nul. Forme trigonométrique

Le plan est maintenant rapporté à un repère orthonormédirect(O,Ð→u ,Ð→v).

1) Argument d’un nombre complexe non nul

Définition 7.Soitzun nombre complexe non nul.

Un argumentdez est une mesure en radian de l’angle orienté(Ð→u ,ÐÐ→

OM). Remarque.Siz=0, alorsM =OpuisÐÐ→

OM =Ð→0. On sait que l’angle(Ð→u ,ÐÐ→

OM)=(Ð→u ,Ð→0) n’existe pas. C’est pour cette raison quezn’est pas nul dans la définition 7.

0 n’a pas d’argument.

Notation.Un argument dezse note arg(z).

b

M(z)

O Ð→u Ð→v

(Ð→u ,ÐÐ→

OM)=arg(z) [2π]

Exemple.Soitz=1+i.z n’est pas nul etzest l’affixe du pointM(1,1). Graphiquement,(Ð→u ,ÐÐ→

OM)=π

4 [2π]et donc un argument de1+iest π

4.

b

M(z)

O Ð→u Ð→v

Un argument de1+iest π 4

car siM est le point d’affixe1+ialors (Ð→u ,ÐÐ→

OM)= π 4 [2π]

Remarque.On sait que les mesures d’un angle orienté sont les réels de la formeθ+2kπoùθest l’une des mesures de l’angle orienté etkest un entier relatif. Donc, les arguments d’un nombre complexe non nul zsont les réels de la formeθ+2kπoùθest l’un des arguments dezet kest un entier relatif.

2) Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul

Soientz un nombre complexe non nul puisM le point d’affixez. Posonsr=∣z∣et notonsθ un argument dez.

rn’est pas nul et on peut donc poserz1= z

r. Le nombrez1 est un nombre complexe de module1car

∣z1∣=∣z r∣=∣1

∣z∣×z∣= 1

∣z∣×∣z∣ (car 1

∣z∣est un réel positif)

=1.

SoitM1 le point d’affixez1. Puisque z1= z

r, on a encorez=rz1 ou aussiÐÐ→

OM =rÐÐ→

OM1. Puisque le réelr est strictement positif, les vecteursÐÐ→

OM etÐÐ→

OM1sont colinéaires et de même sens. On en déduit que arg(z)=(Ð→u ,ÐÐ→

OM)=(Ð→u ,ÐÐ→

OM1)=θ[2π].

Maintenant, le pointM1est un point du cercle trigonométrique et de plus, (Ð→u ,ÐÐ→

OM1)=θ[2π]. Les

coordonnées deM1 sont donc(cos(θ),sin(θ)) ou encorez1=cos(θ)+isin(θ)ou enfinz=r(cos(θ)+isin(θ)).

b

b

M(z)

M¹(z¹)

O Ð→u Ð→v

(Ð→u ,ÐÐ→

OM)=(Ð→u ,ÐÐ→

OM1)=θ=arg(z) [2π]

1 cos(θ) sin(θ)

OM=∣z∣

Théorème 19.Tout nombre complexe non nul zpeut s’écrire sous la forme z=r(cos(θ)+isin(θ))

oùrest un réel strictement positif etθun réel.

Vérifions maintenant que, en un certain sens, cette écriture est unique.

Théorème 20.Soient retr^′ deux réels strictement positifs et soientθ etθ^′deux réels.

r(cos(θ)+isin(θ))=r^′(cos(θ^′)+isin(θ^′))⇔r^′=ret il existek∈Ztel queθ^′=θ+2kπ.

Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont même module et des arguments égaux modulo 2 π.

Démonstration.Soientret r^′deux réels strictement positifs et soientθet θ^′deux réels.

• Supposons quer^′=ret il existek∈Ztel queθ^′=θ+2kπ.Alorscos(θ)=cos(θ^′)etsin(θ)=sin(θ^′)puis r(cos(θ)+isin(θ))=r^′(cos(θ^′)+isin(θ^′)).

strictement positif

∣r(cos(θ)+isin(θ))∣=r∣cos(θ)+isin(θ)∣=r√

cos²(θ)+sin²(θ)=r.

et donc aussi∣r^′(cos(θ^′)+isin(θ^′))∣=r^′. Puisque les nombresr(cos(θ)+isin(θ))etr^′(cos(θ^′)+isin(θ^′)) sont égaux, ils ont même module et doncr^′=r. En simplifiant par le réel non nul r, il reste l’égalité

cos(θ)+isin(θ)=cos(θ^′)+isin(θ^′).

Par identification des parties réelles et imaginaires, on obtientcos(θ)=cos(θ^′)etsin(θ)=sin(θ^′). On sait que ces deux égalités impliquent qu’il existe un entier relatifktel que θ^′=θ+2kπ.

Ainsi, l’écriture d’un nombre complexe non nulzsous la formez=r(cos(θ)+isin(θ)), oùrest un réel strictement positif etθ est un réel, est unique en ce sens que sir(cos(θ)+isin(θ))=r^′(cos(θ^′)+isin(θ^′))(oùr^′>0), alors r=r^′et cos(θ)+isin(θ)=cos(θ^′)+isin(θ^′). Ceci motive la définition suivante :

Définition 8.Soitzun nombre complexe non nul.

L’écriture de z sous la forme z = r(cos(θ)+isin(θ)) où r est un réel strictement positif et θ est un réel s’appellela forme trigonométriquedu nombre complexe non nul z.

Rappelons alors que :

Théorème 21.Soitz un nombre complexe non nul. Soientrun réel strictement positif et soitθun réel.

z=r(cos(θ)+isin(θ))⇔r=∣z∣etθest un argument dez.

Méthode pratique.On veut obtenir la forme trigonométrique d’un nombre complexe non nulzécrit sous forme algébrique :z=x+iyoùxety sont deux réels.

1) On calcule le module dez :∣z∣=√ x²+y². 2) On met le module dezen facteur : z=∣z∣(x

∣z∣+iy

∣z∣)=√

x²+y²⎛

⎝

√ x

x²+y² +i y

√x²+y²

⎞

⎠. 3) Le nombre x

√x²+y²+i y

√x²+y² est de module1 et on chercheθ∈Rtel que x

√x²+y² =cos(θ)

et y

√x²+y² =sin(θ). On a ainsi obtenu

z=r(cos(θ)+isin(θ))oùr=∣z∣=√

x²+y²>0. Exercice 14.Déterminer la forme trigonométrique de2−2i.

Solution.∣2−2i∣=2∣1−i∣=2√

1²+(−1)²=2√2puis

2−2i=2√ 2( 2

2√ 2−i 2

2√

2)=2√ 2( 1

√2 −i 1

√2)=2√

2(cos(−π

4)+isin(−π 4)). La forme trigonométrique de2−2iest2√2(cos(−π

4)+isin(−π

4)), le module de2−2iest 2√2et un argument de2−2iest−π

4.

1

−1

−2

1 2

−1

b

∣z∣=2 √ 2

arg(z)= −π 4 [2π] z=1−i=2√

2(cos(−π

4)+isin(−π 4))