[ Baccalauréat SMS Antilles septembre 2006 \
L’usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.
Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
EXERCICE 9 points
Le Ministère de la Santé et de la Protection Sociale publie, chaque année, des statistiques concernant le personnel de santé.
Dans la suite de l’exercice, le mot infirmier recouvre aussi bien les hommes que les femmes exerçant cette profession.
Voici les informations obtenues en 2004 pour les infirmiers du département du Cantal :
— 1 212 infirmiers exercent dans ce département.
— Ils sont répartis en trois catégories : les « infirmiers libéraux », les « salariés hospitaliers » et les
« autres salariés ».
— 75 % des infirmiers sont des salariés hospitaliers et 180 sont des infirmiers libéraux.
— Parmi les infirmiers libéraux, 90 % sont des femmes.
— Il y a 1 030 femmes au total. Parmi elles, 10 % font partie des « autres salariés ».
1. Reproduire le tableau ci-dessous et le compléter :
Hommes Femmes Total
Infirmiers libéraux Salariés hospitaliers
Autres salariés
Total 1 212
Source : DRESS -Ministère de la Santé et de la Protection Sociale
Dans les questions suivantes les résultats seront arrondis à10−2près.
2. On choisit au hasard un individu parmi les 1 212 infirmiers du département. On considère les évènements suivants :
A : « L’individu est une femme » ; B : « L’individu est un infirmier libéral » ; C : « L’individu est une femme salariée ».
a. Calculer la probabilité de chacun des évènements A et B.
b. Décrire par une phrase les évènements A∩B et A∪B, puis calculer leur probabilité.
c. Exprimer C en fonction de A et B, puis calculer sa probabilité.
3. On choisit au hasard un individu parmi les infirmiers hommes. Quelle est la probabilité qu’il soit un infirmier libéral ?
Problème 11 points
Partie A
Soitf la fonction définie sur [0,1; 4] par
f(x)= −
" ¡ x2¢
2
#
+x+5+2lnx.
1. Calculer f′(x).
Baccalauréat SMS A. P. M. E. P.
2. Montrer quef′(x) peut s’écrire sous la forme
·(−x+2)(x+1) x
¸ .
3. Utiliser la question 2 pour étudier le signe def′(x) sur l’intervalle [0,1; 4].
4. Établir le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [0,1; 4] (les valeurs def(x) figurant dans ce tableau seront données sous forme décimale arrondie à 0,1 près).
5. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (avec des résultats sous forme décimale arrondie à 0,1 près) :
x 0,1 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
f(x) 4 6,2
Tracer sur papier millimétré la courbe représentative def dans un repère orthonormé (unité : 2 cm).
Partie B
On veut suivre l’évolution de la population dans une culture bactérienne, suivant la température à laquelle on soumet cette culture. Pour une températurex, en dizaines de degrés Celsius, comprise entre 0,1 et 4, le nombre de bactéries, en millions, dans la culture estf(x) oùf est la fonction étudiée dans la partie A.
1. À quelle température, en degrés Celsius, le nombre de bactéries dans la culture est-il maximal ? Dans les deux questions suivantes, on fera apparaître les traits de construction utiles.
2. Déterminer graphiquement le nombre de bactéries dans la culture chauffée à 37,5° C.
3. Pour quelles températures, en degrés Celsius, le nombre de bactéries dans la culture est-il inférieur ou égal à 5 500 000?
Antilles 2 septembre 2006
