MAM4-SI4 - Optimisation 2011-2012
TD n
◦1 : D´ erivabilit´ e et calcul de d´ eriv´ ees de Fr´ echet
D´efinition :f :Rn→Rmest Fr´echet d´erivable (ou diff´erentiable au sens de Fr´echet) enxs’il existe une forme lin´eaireL:Rn→Rm telle que f(x+h) =f(x) +L(h) +khkε(h), ∀h∈Rn, o`uε(h)→0 quandh→0. On pourra noter f0(x) =L la forme lin´eaire. On peut remplacer khkε(h) paro(h).
Le gradient def :Rn→Rest le vecteur∇f =
∂f
∂xi
. Le Hessien defest la matrice∇2f =
∂2f
∂xi∂xj
. Le Jacobien deF :Rn→Rm est la matrice J F =
∂Fi
∂xj
.
Exercice 1 : Calcul de d´eriv´ees au sens de Fr´echet 1.1. Soit f : Rn→R,
x→f(x) :=< c, x >+b, avec c∈Rn, b∈R.
Calculer la d´eriv´ee de Fr´echet de f au point x, puis le gradient ∇f(x). Calculer la d´eriv´ee au second ordref00(x), puis le hessien ∇2f(x).
1.2. Soit F : Rn→Rm,
x→F(x) :=Ax+b, avec A∈ Mm,n(R), b∈Rm. Calculer la d´eriv´ee de Fr´echet deF, puis le Jacobien J F(x).
1.3. Soit f : Rn→R, x→f(x) := 1
2 < Ax, x >+< b, x >+c, avec A∈ Mn,n(R), b∈Rn, c∈R. Calculer la d´eriv´ee et le gradient def. Calculer la d´eriv´ee au second ordre et le hessien def. 1.4. Soit g: Rn→R,
x→g(x) :=
m
X
i=1
(ri(x))2, o`u lesri :Rn→Rsont deux fois diff´erentiables.
Calculer la d´eriv´ee et le gradient deg, puis la d´eriv´ee seconde et le hessien de g.
Exercice 2 : D´erivabilit´e
2.1. Soit g: Rn→R, x→g(x) :=
m
X
i=1
fi+(x)2
,
o`u les fi : Rn → R sont deux fois d´erivables et
a+= max(0, a). La fonctiong est-elle d´erivable, deux fois d´erivable ? 2.2. Soit Rm A //
g:=f oADDDDDDDD""Rn
f
R
, avec A : u → A0u +b et A0 ∈ Mn,m(R), b ∈ Rn et f deux fois
diff´erentiable.
Exprimer ∇g et∇2g en fonction de ∇f et ∇2f.
Application :soitf :Rn→R, deux fois d´erivable,x0 ∈Rnetd∈Rn. On poseϕ(t) :=f(x0+td).
Calculer ϕ0(t) (resp.ϕ00(t)) en fonction de∇f(x0+td) (resp. ∇2f(x0+td)).
