le 6 F´evrier 2006 UTBM MT12 Arthur LANNUZEL
Examen final Printemps 2005
Chaque exercice sera r´ edig´ e sur une feuille diff´ erente. Les calculatrices sont interdites. Le seul document autoris´e est une feuille
A4 manuscrite.
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations. Si une question pose probl`eme, on cherchera la suivante en admettant les resultats
Exercice 1 (6 points)
Soit la fonction f d´efinie par : (
f(x, y) = xx22+y.y2 si (x, y)6= (0,0) f(x, y) = 0 si (x, y) = (0,0)
1 - Montrer que f est continue sur R2?
2 - Quelles sont ses d´eriv´ees partielles, si elles existent ? Sont-elles continues ?
Exercice 2 (6 points) (NOUVELLE FEUILLE)
1) Montrer que, pour n ∈ N l’int´egrale g´en´eralis´ee f(n) = R+∞
0 xn.e−xdx est d´efinie (avec ∀x∈R, x0 = 1) .
2) Calculer f(0), f(1), f(2).
3) Trouver une relation entref(n) et f(n−1) pour n ≥1.
4) En d´eduire la valeur def(n).
TOURNER LA PAGE S.V.P.
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Exercice 3 (NOUVELLE FEUILLE) (10 points) Soit A=
µ 2 −1
−1 2
¶ .
1) Calculer les valeurs propres de A? A est-elle diagonalisable ? Donner une base de R2 form´e de vecteurs propres de A.
2) Soient y1 :R−→R et y2 :R−→R deux fonctions `a d´eriv´ee continue.
R´esoudre le syst`eme diff´erentiel suivant :
½ y10(t) = 2.y1(t)−y2(t) y20(t) = −y1(t) + 2.y2(t)
3) Soit λ ∈R, X =
x1
x2 x3 x4
∈R4 et B =
0 0 1 0
0 0 0 1
2 −1 0 0
−1 2 0 0
∈ M4(R).
a - Montrer que le syst`eme d’´equation B.X =λ.X est ´equivalent aux ´equations :
½ x3 = λ.x1
x4 = λ.x2 etA.
µ x1 x2
¶
=λ2. µ x1
x2
¶ .
b - En d´eduire que les valeurs propres de B sont {1,−1,√ 3,−√
3} et que B est diagonalisable.
Donner une base de R4 form´ee de vecteurs propres de B.
4) On cherche `a r´esoudre le syst`eme d’´equations diff´erentielles : (E)
½ y100(t) = 2.y1(t)−y2(t) y200(t) = −y1(t) + 2.y2(t) avec y1 et y2 des fonctions `a d´eriv´ee seconde continue.
On pose X(t) =
y1(t) y2(t) y10(t) y20(t)
.
Montrer que X0(t) = B.X(t) est ´equivalent au syst`eme (E).
R´esoudre le syst`eme d’´equations diff´erentielles (E).
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