Corrig´ es de la s´ erie n˚ 4

D´epartement de Math´ematiques T.D. de Probabilit´es 2

S´ erie n˚ 4

Exercice 1 :

Soient (Ω,A, P) un espace probabilis´e et A etB deux ´ev`enements de A. Montrer que : 1. A etB ind´ependantes ⇐⇒A etB ind´ependantes

2. A etB ind´ependantes ⇐⇒A etB ind´ependantes Exercice 2 :

Soient (Ω,A, P) un espace probabilis´e. Montrer que pour un nombre fini d’´ev`enements et (Ai), i= 1,2,· · · , n avecP(∩ⁿ⁻¹_i=1Ai)>0 on a :

P(∩ⁿ_i=1A_i) =P(A₁)P(A₂/A₁)P(A₃/A₁A₂)· · ·P(A_n/∩ⁿ⁻¹_i=1 A_i) Exercice 3 :

On veut montrer qu’une v.a. qui suit une loi g´eom´etrique n’a pas de m´emoire. Pour cela, on consid`ere une v.a.X qui suit une loi g´eom´etrique de param`etrepavec 0< p <1 ; alors, montrer que pour tout k₀ >0 et k > 1,

P(X >k₀+k/x > k₀) =P(X >k).

Exercice 4 :

Soit X une v.a. qui suit la loi de Poisson de param`etreλ >0 et Y une v.a. prenant ses valeurs dans N.

On suppose que pour toutn entier naturel, (Y /X =n)∼ B(n, p). D´eterminer la loi de Y. Exercice 5 :

Soient X et Y deux v.a. ind´ependantes telles que X ∼ P(λ₁) et Y ∼ P(λ₂). Montrer que la distribution conditionnelle de X par X+Y est une loi binomiale.

Exercice 6 :

Soient X etY deux v.a. ind´ependantes de loisX ∼ B(n, p) et Y ∼ B(m, p).

α et β ´etant deux nombres tels que α6β. Calculer P(X =α/X+Y =β).

Exercice 7 :

On consid`ere la loi trinomiale d´efinie par :

P(X =x, Y =y) = n!

x!y!(n−x−y)!p^x₁p^y₂p^n−x−y₃ ,

o`u (x, y)∈Z²+ etpj >0 avec p1+p2+p3 = 1.

1. D´eterminer la loi marginale de X.

2. D´eterminer la loi conditionnelle de Y par X =x.

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Corrig´ es de la s´ erie n˚ 4

Exercice 1 :

Soient (Ω,A, P) un espace probabilis´e et A etB deux ´ev`enements de A.

1. On a A=A∩Ω =A∩(B∪B) = (A∩B)∪(A∩B) Alors, P(A) =P(A∩B) +P(A∩B)

=P(A)P(B) +P(A∩B) DoncP(A∩B) = P(A)−P(A)P(B)

=P(A)(1−P(B))

=P(A)P(B)

D’o`u l’´equivalence `a d´emonter puisqu’on a proc´ed´e par des ´egalit´es.

2. P(A∩B) =P(A∪B) = 1−P(A∪B)

= 1−P(A)−P(B) +P(A∩B)

= 1−P(A)−P(B) +P(A)P(B)

=P(A)−P(B)(1−P(A))

=P(A)P(B)

D’o`u l’´equivalence `a d´emonter puisqu’on a proc´ed´e par des ´egalit´es.

Exercice 2 :

On d´emontre la formule par r´ecurrence.

Pour n= 1 ; P(A₁) = P(A₁)

Pour n= 2 ; P(A1∩A2) = P(A1/A2)P(A2) = P(A2/A1)P(A1)

Supposons la formule vraie `a l’ordre (n−1) et on montre qu’elle est vraie `a l’ordren. On ´ecrit : P(∩ⁿ_i=1A_i) = P(∩ⁿ⁻¹_i=1A_i∩A_n)

=P(A_n/∩ⁿ⁻¹_i=1 A_i).P(∩ⁿ⁻¹_i=1A_i)

=P(A₁)P(A₂/A₁)P(A₃/A₁A₂)· · ·P(An−1/∩ⁿ⁻²_i=1 A_i)P(A_n/∩ⁿ⁻¹_i=1 A_i) D’o`u la formule.

Exercice 3 :

On dit qu’une v.a. X `a valeurs enti`eres positives suit la loi g´eom´etrique de param`etre p avec 0< p <1, si ∀k ∈X(Ω) ={1,2,· · · , n,· · · }

P(X =k) =pq^k−1, avec q = 1−p Montrons que la loi g´eom´etrique n’a pas de m´emoire :

P(X >k) =P(X =k) +P(X =k+ 1) +· · ·

=pq^k−1(1 +q+· · ·)

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= pq^k−1

1−q =q^k−1, d’o`u

P(X >k+k₀/X > k₀) = P(X >k+k0, X >k0+ 1) P(X >k₀+ 1)

= P(X >k+k₀)

P(X >k₀+ 1), (car k > 1)

= q^k+k0−1

q^k0 =q^k−1 Conclusion :

P(X >k+k0/X > k0) =P(X >k) Exercice 4 :

Calculons P(Y =k).

P(Y =k) =P({Y =k} ∩Ω) =P({Y =k} ∩ ∪^∞_n=0{X =n})

=

∞

X

n=0

P(Y =k, X =n) =

∞

X

n=0

P(Y =k/X =n).P(X =n)

=

∞

X

n=k

λⁿ

n!e^−λC_n^kp^k(1−p)^n−k=e^−λ p

1−p k ∞

X

n=k

C_n^k(λ(1−p))ⁿ n!

= e^−λ k!

p 1−p

k ∞

X

n=k

(λ(1−p))ⁿ (n−k)!

Changement d’indice n−k=j, P(Y =k) = e^−λ

k!

p 1−p

k ∞

X

j=0

(λ(1−p))^j+k

j! = e^−λ k!

p 1−p

k

λ^k(1−p)^k

∞

X

j=0

λ^j(1−p)^j j!

= e^−λ k! p^kλ^k

∞

X

j=0

(λ(1−p))^j

j! = e^−λ

k! (λp)^ke^λ(1−p) = (λp)^k k! e^−λp Donc Y ∼ P(λp).

Exercice 5 :

On montre que P(X=m/X+Y =n) = C_n^m

λ1

λ1+λ2

m

1− _λ1+λ^λ1

2

^n−m

Soit m, n∈Z⁺ avec m < n. On a :

P(X =m/X+Y =n) = P(X =m, Y =n−m)

P(X+Y =n) = P(X =m).P(Y =n−m) P(X+Y =n)

= e^−λ1λ_m!^m1 e^{−λ2 λ}

n−m 2

(n−m)!

Pn

k=0e^{−(λ1+λ2)λ}_k!^{k1 λ}

(n−k) 2

(n−k)!

= e^−(λ1+λ2)

λm1λn−m 2 m!(n−m)!

e^{−(λ1+λ2) (λ1+λ}_n!²⁾ⁿ

=C_n^m λ^m₁ λ^n−m₂

(λ₁+λ₂)ⁿ =C_n^m

λ₁ λ₁+λ₂

m

1− λ₁ λ₁+λ₂

n−m

;m= 0,1,2,· · · , n

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Exercice 6 :

D’abord, on doit savoir que siX ∼ B(n, p) etY ∼ B(m, p), avecXetY deux v.a. ind´ependantes, alors, X+Y ∼ B(n+m, p).

En effet :

CommeX et Y sont ind´ependantes, on a : P(X+Y =β) = X

A

P(X =a).P(X =b) o`uA ={(a, b)/06a6n,06b6m, a+b =β}.

P(X+Y =β) =X

A

C_n^ap^a(1−p)^n−a.C_m^bp^b(1−p)^m−b

P(X+Y =β) =X

A

C_n^a.C_m^b p^a+b(1−p)^n+m−(a+b) Or P

AC_n^a.C_m^b =Pn+m

β=a+b=0C_n^a.C_m^b =Pn

a=0C_n^aC_m^β−a =C_n+m^β En effet :

Consid´erons (1 +x)^n+m = (1 +x)ⁿ.(1 +x)^m. (1 +x)^n+m =

n+m

X

k=0

C_n+m^k x^k

(1 +x)ⁿ=

n

X

i=0

C_nⁱxⁱ

(1 +x)^m =

m

X

j=0

C_m^j x^j On a donc Pn+m

k=0 C_n+m^k x^k =Pn

i=0C_nⁱxⁱ.Pm

j=0C_m^j x^j En identifiant les coefficients de x^k, on peut ´ecrire :

C_n+m^k =

n

X

i=0

C_nⁱC_m^j=k−i

D’o`u, en prenant i=a,j =b etk =β, C_n+m^β =Pn

a=0C_n^aC_m^β−a On en d´eduit que : P(X+Y =β) =C_n+m^β p^β(1−p)^n+m−β

i.e. X+Y ∼ B(n+m, p).

Calculons, maintenant, P(X =α/X+Y =β).

X etY ´etant ind´ependantes, on peut ´ecrire :

P(X =α/X+Y =β) = P(X =α, X+Y =β) P(X+Y =β)

= P(X =α/Y =β−α) P(X+Y =β)

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= C_n^αp^α(1−p)^n−α.C_m^β−αp^β−α(1−p)^m−β+α C_n+m^β p^β(1−p)^n+m−β

= C_n^αC_m^β−αp^β(1−p)^n+m−β C_n+m^β p^β(1−p)^n+m−β Soit P(X =α/X+Y =β) = ^{CnαCmβ−α}

C_n+m^β

On voit, donc, que la loi deX conditionn´ee parX+Y =β est hyperg´eom´etrique de param`etres n+m, n etβ (que l’on note par H(n+m, n, β)).

Exercice 7 :

Consid`erons la loi trinomiale :

P(X =x, Y =y) = n!

x!y!(n−x−y)!p^x₁p^y₂p^n−x−y₃ , o`u (x, y)∈Z²+ etp_j >0 avec p₁+p₂+p₃ = 1.

1. La loi marginale de X est donn´ee par : P(X =x) =

n−x

X

y=0

n!

x!y!(n−x−y)!p^x₁p^y₂p^n−x−y₃

= n!

x!(n−x)!p^x₁

n−x

X

y=0

(n−x)!

y!(n−x−y)!p^y₂p^n−x−y₃

=C_n^xp^x₁(p₂+p₃)^n−x =C_n^xp^x₁(1−p₁)^n−x;x= 0,1,· · · , n C’est-`a-dire X ∼ B(n, p₁).

2. La loi conditionnelle de Y par X =x sera : P(Y =y/X =x) =

( (n−x)!

y!(n−x−y)!

p2

1−p1

y

p3

1−p1

n−x−y

si y= 0,1,· · · , n−x

0 autrement

Donc, c’est une loi B(n−x,_1−p^p2

1)

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