Exercices : 05 - Optique g´eom´etrique.

Exercices : 05 - Optique g´ eom´ etrique.

A. Lois de Snell-Descartes

1. Principe de l’arc-en-ciel

Un faisceau parall`ele de lumi`ere monochromatique ´eclaire une sph`ere (cf. figure 1) homog`ene de rayon R et d’indice optiquen≃1,33 relativement `a l’air dans lequel elle est situ´ee. Un rayon quelconque, p´en´etrant dans la sph`ere sous l’incidencei, entre dans la sph`ere sous l’angler par rapport `a la mˆeme normale, et finit par en ressortir apr`es avoir suivipr´eflexions internes. Le rayon ´emergent fait l’angleαavec le rayon incident.

b

i

r

eau

Figure1 – Principe de l’arc-en-ciel

1. La sph`ere est uniform´ement ´eclair´ee. Si on appelle dΦ le flux lumineux envoy´e entre les anglesieti+ di, relier dΦ `ai, au flux total Φ ´eclairant la sph`ere, et `a di.

2. Exprimer dΦ

dα en fonction dep,n,ietr.

3. `A quelle condition dΦ

dα admet-il un extremum ? Expliquer pourquoi on peut alors parler d’arc-en-ciel.

4. On s’int´eresse `a la premi`ere valeur depfournissant un arc-en-ciel (arc primaire). Quelle est la position du sommet de cet arc-en-ciel au-dessus de l’horizon lorsque le soleil est lui-mˆeme `a 25^◦au-dessus de celui-ci ? 5. L’indice optique de l’eau varie en fait tout au long du spectre visible avec dn

dλ =−35 000 m⁻¹. ´Evaluer la largeur angulaire de cet arc-en-ciel et l’ordre de disposition des couleurs.

2. Prisme `a r´eflexion totale

Un prisme de verre (figure 2) a pour section droite un triangle ABC rectangle en A. Il est ´eclair´e par un faisceau parall`ele de lumi`ere monochromatique `a la longueur d’ondeλ0 pour laquelle l’indice optique du verre relativement `a l’air vautn.

A C

B

i n

i^′ α

Figure2 – Prisme `a r´eflexion totale

On ´etudie la marche de ce faisceau qui entre sur la faceAB sous l’angle d’incidencei. Apr`es r´eflexion totale sur la faceBC, le faisceau sort du prisme par la faceAC. On appelleαl’angle di`edre du prisme enB.

1. D´efinir et calculer la d´eviationD par le prisme en fonction seulement deiet de l’angle d’´emergence du faisceaui^′ par la face AC.

2. Est-il possible d’obtenir un faisceau ´emergent perpendiculaire au faisceau incident ? Dans ce cas, montrer quendoit v´erifier une in´egalit´e que l’on pr´ecisera.

Cette situation est-elle compatible avec une incidence normale ? une incidence rasante ?

3. On consid`ere maintenant le cas o`u n= 1,5 etα= 60^◦. D´eterminer l’angle d’incidencei0 correspondant

`a un faisceau ´emergent perpendiculaire au faisceau incident. D´eterminer la variation dDde la d´eviation D lorsquei0 varie de di0.

Correcteurs : GC06

3. Lentille plate de Veselago

En, le physicien russeVictor Veselagoa conduit des ´etudes th´eoriques dans le cadre d’une optique de Descarteso`u les milieux pourraient ˆetre d’indice n´egatif. Il a montr´e qu’avec de tels milieux, il ´etait possible de r´ealiser une lentille convergente parfaitement plate. En , le premier mat´eriau poss´edant un indice n´egatif a ´et´e cr´e´e, on parle dem´etamat´eriau. Ce mat´eriau est un di´electrique classique (verre de silice) dans lequel on a ins´er´e des fils conducteurs selon une structure p´eriodique, voir la photographie de la figure 3. Ce mat´eriau s’est montr´e efficace pour des longueurs d’onde λ≃1 cm. Son indice de r´efraction a ´et´e mesur´e `a n= −2,7.

A l’heure actuelle, aucun m´etamat´eriau n’a ´et´e r´ealis´e pour le domaine visible` λ≃0,5µm. Seul un mat´eriau d’indicen=−0,3 a ´et´e obtenu pour λ≃2µm.

Figure3 – M´etamat´eriau

On consid`ere le sch´ema de la figure 4 o`u un objet AB est plac´e `a la distance d d’une lame `a face parall`eles d’´epaisseure, d’indice n <0 avec |n|>1. La lame de m´etamat´eriau poss`ede une hauteur tr`es grande devant son ´epaisseur. On consid`ere un rayon lumineux qui aborde ce milieu depuisAsous l’angle d’incidencei1.

bA

B i1

e d

1 n 1

b

O

Figure4 – Lentille plate deVeselago

1. La loi de la r´efraction ´etant de Descartes´etant toujours valable, quelle est la particularit´e du rayon r´efract´e par le dioptre planP1,nlorsque le milieu est d’indice n´egatif ?

2. On suppose que l’image A^′ de A par le dioptre plan P1,n est situ´ee dans le milieu d’indice n < 0.

D´eterminer la distance OA^′ en fonction de d, n et i1. En d´eduire que le dioptre plan P1,n n’est pas stigmatique.

3. Montrer qu’en se pla¸cant dans les conditions le Gauss, le stigmatisme est assur´e. Que vaut alors la distanceOA^′? O`u se situe l’imageB^′ deB? Quelle propri´et´e pr´esente donc le dioptre planP1,n? Dans la suite, on se place dans les conditions deGauss.

4. `A quelle condition sur l’´epaisseur e de la lentille de Veselago, l’image A^′B^′ se situe-t-elle dans le m´etamat´eriau ? On suppose pour la suite que cette condition est aussi r´ealis´ee aussi pour un objetA1B1

situ´e `a la distanced1> den arri`ere deAB par cons´equent. O`u se situe l’image de A1B1 par rapport `a A^′B^′? On consid`ere maintenant un objet constitu´e parA1B1AB. Que peut-on dire de son image dans le m´etamat´eriau ?

5. Pour une ´epaisseur e respectant la condition vue `a la question pr´ec´edente, d´eterminer la position de l’image d´efinitiveA^′′B^′′deABpar la lentille deVeselago. A-t-on bien r´ealis´e l’´equivalent d’une lentille convergente traditionnelle ?

Correcteurs : GC11

4. Un poisson dans un cylindre de verre

Un poisson nage dans un r´ecipient cylindrique de diam`etreD= 20,0 cm, rempli `a ras bord. Le poisson se situe

`a une position tr`es particuli`ere : son œil se situe pr´ecis´ement sur l’axe de sym´etrie du cylindre. Dans cette position, il peut voir tout ce qui entoure le r´ecipient, sur l’enti`ere surface de l’eau. `A quelle distance le poisson se trouve-t-il alors de la surface de l’eau ? On rappelle que l’indice de l’eau estn= 1,33.

Proposition de r´eponses :

a) 22,2 cm b) 11,4 cm c) 18,0 cm d) 8,8 cm

Correcteurs : GC02

5. Images de deux miroirs plans

Deux miroirs (M1) et (M2) forment entre eux un angle deα= 20˚. Un objet est plac´e enO, sur la bissectrice form´ee par l’angle entre les deux miroirs. Combien d’images de O peuvent-elles ˆetre vues en tout (incluant le pointOlui mˆeme) ? On fait l’hypoth`ese que l’œil peut ˆetre plac´e entre les miroirs et peut observer les r´eflexions.

Voir le sch´ema de la figure 5.

b

O α

C

Figure5 – Di`edre de deux miroirs Proposition de r´eponses :

a) 36 b) 18 c) 1 d) 9

Correcteurs : GC02

B. Trac´ es optiques

6. Trac´es de rayons

Compl´eter la marche des rayons lumineux incidents ou ´emergents des lentilles de la figure 6.

b

O

b

O

b

O

Figure6 – Lentilles 7. Constructions Image - Objet

Dans chaque cas, construire l’objet qui poss`ede l’image obtenue sur la figure 7.

b b

O A^′ F B^′

b

b

F A^′ O B^′

Figure7 – Constructions

b b b

F^′ O F

B

A

b b b

F^′ O F

B A

b b b

F^′ O F

B^′

A^′

b b b

F^′ O F

B^′ A^′

Figure8 – Constructions pour une lentille divergente

8. Constructions avec une lentille divergente

Pour les 4 sch´emas propos´es `a la figure 8, tracer l’image ou l’objet en fonction de ce qui est propos´e.AB est un objet,A<sup>′</sup>B<sup>′</sup> une image. Lorsque l’objet ou l’image sont r´eels, ils sont repr´esent´es en trait plein. Dans le cas o`u ils sont virtuels, on utilise les pointill´es.

9. Constructions avec deux lentilles

Pour les 4 sch´emas propos´es `a la figure 9, tracer l’image de l’objet r´eel propos´e en entr´ee du syst`eme optique.

b b b

F1 O1 F1^′

B

A _{b b b}

F2 O2 F2^′

b b b

F1 O1 F1^′ =F2

B

A _{b b b}

F2^′

O2

b b b

F1 O1 F1^′

B

A _{b b b}

F2

F2^′ O2

Figure9 – Constructions d’une image pour un syst`eme de deux lentilles

C. Relations de conjugaison

10. Focom´etrie

On consid`ere le syst`eme optique pr´esent´e sur la figure 10.

b

b

A C

b

O

Figure10 – Focom´etrie

Un point objet A r´eel est plac´e sur l’axeCx. En O, il y a un miroir plan. On note d= 60 cm la distanceCO.

On constate qu’il existe deux positions de cet objet pour lesquelles le point image A^′ fourni par le syst`eme se confond avecA. Ces deux positions sont s´epar´ees par une distanceD= 10 cm.

En d´eduire l’expression, puis la valeur de la distance focalef de la lentille.

Correcteurs : GC13

11. Grandissement et focom´etrie

Un syst`eme optique centr´e (S) donne d’un objet r´eelAB une image r´eelleA<sup>′</sup>B<sup>′</sup> situ´ee sur un ´ecran perpendi- culaire `a l’axe du syst`eme. On intercale une lentille entre (S) et l’´ecran. On obtient une image deux fois plus grande (et de mˆeme sens) sur l’´ecran qu’il a fallu reculer ded= 20 cm.

D´eterminer la nature de la lentille ajout´ee, sa position et sa distance focale.

R´eponses : divergente,f^′=−40 cm,A^′B^′ `a 20 cm devant la lentille constitue un objet virtuel.

12. Le poisson rouge dans son bocal

Un dioptre sph´erique convexe (figure 11), de rayonR, s´epare l’eau (indice n≃1,33) de l’air (indicenair= 1).

On donne la relation de conjugaison du dioptre sph´erique s´eparant deux milieux d’indicen1etn2: n2

SA^′− n1

SA = n2−n1

SC . Le grandissement transversal est :Gt= n1SA^′ n2SA.

b

b

C

S

Figure11 – Le poisson rouge dans son bocal

1. Dans les conditions de Gauss, d´eterminer la relation de conjugaison liant les positions de l’objet A (situ´e dans l’eau) et de son imageA^′ (situ´ee dans l’air). On noteraS le sommet du dioptre, c’est-`a-dire l’intersection de l’axe optique et du dioptre, de centreC.

2. Le dioptre est en fait un bocal sph´erique contenant un poisson. Construire, en utilisant deux rayons particuliers, l’imageA^′B^′ d’un objetAB plac´e au niveau du poisson. Peut-on voir le poisson `a l’envers ? Le voit-on plus petit ou plus grand ?

3. `A partir de la relation du grandissement lin´eaire transversal pour ce dioptre, d´eterminer le grandissement en fonction de la position du poisson. Peut-on voir le poisson `a l’envers ? Peut-on le voir plus petit qu’il n’est en r´ealit´e ?

Correcteurs : GC13

13. Succession de lentilles identiques

On consid`ere une succession de lentilles convergentes minces identiques de mˆeme axe optiqueOz, de distance focalef<sup>′</sup>>0, ´equidistantes deaaveca≪f<sup>′</sup>. On se limite ici `a des rayons se propageant dans un plan m´eridien (plan contenant l’axe Oz) et on suppose valable l’approximation de Gauss. Un rayon qui vient traverser la lentille de rangnest parfaitement d´etermin´e par sa distance alg´ebriqueyn`a l’axe `a la sortie de la lentille et par l’angle orient´eαn qu’il fait avecOz, voir le sch´ema de la figure 12.

z

b b

Ln Ln+1

a

On On+1

yn

αn yn+1

Figure12 – Succession de lentilles identiques

1. Trouver une relation de r´ecurrence pour la suiteyn faisant interveniraetf^′.

2. En d´eduire l’´equation diff´erentielle donnant acc`es `a l’´equation des rayons lumineux dans le syst`eme. La r´esoudre.

3. Quel peut ˆetre l’int´erˆet d’un tel dispositif ? Correcteurs : GC01

D. Instruments d’optique

14. Lentilles correctrices

On consid`ere un œil myope tel que lepunctum remotumest situ´e `a 10 cm de la face avant de l’œil et la distance entre le cristallin et la r´etine estD= 22 mm. Quelle est la focalef^′ des lentilles de contact qu’il doit choisir ? Proposition de r´eponses :

a) f^′=−0,1 m b)f^′= +0,1 m c)f^′ =−0,01 m d)f^′= +0,01 m Correcteurs : GC04

15. Photographie et pouvoir de r´esolution

L’angle de vision humain moyen pour la vision st´er´eoscopique en couleurs est de l’ordre de 40˚.

1. D´eterminer la distance focale d’un objectif photographique, assimil´e `a une lentille sph´erique mince conver- gente unique, qui donne le mˆeme angle de vision lorsque la largeur de la pellicule est de 36 mm.

2. Un objectif de ce type, de distance focalef^′= 50 mm, est r´egl´e sur l’infini si la distance entre le plan de la pelliculeP et le centreO de la lentille est ´egale `af<sup>′</sup>. Pour mettre au point (obtenir une image nette) sur un objet situ´e `a distance finieD deO, on doit ´ecarter l’objectif de cette position d’une distancet (tirage). Calculer t.

3. Lorsque la mise au point ci-dessus est r´ealis´ee, on constate en pratique que l’image form´ee reste nette de part et d’autre de la mise au point th´eorique (c’est la profondeur de champ), car on peut qualifier d’image nette toute tache de dimension inf´erieure au diam`etreδdes grains photosensibles (AgBr). Si la mise au point est faite sur 18 m, on constate en particulier que l’image est nette si l’objet est situ´e entre 9 m de l’objectif et l’infini pour un certain diam`etred=f^′/N d’ouverture de l’objectif, avecN = 5,6.

Evaluer´ δ.

4. D´eterminer la profondeur de champ pourN = 2,8 puisN = 16. Quel autre facteur influe sur le choix du diaphragmeN?

Correcteurs : GC09

16. Microscope

Un microscope est constitu´e par association de deux lentilles convergentes jouant respectivement les rˆoles d’ob- jectif et d’oculaire. L’objectif est de focalef1^′ = 5 mm et l’oculaire de focale f2^′ = 25 mm. Le foyer imageF1^′ de l’objectif et le foyer objetF2 de l’oculaire sont ´ecart´es del= 25 cm.

1. Un observateur, l’œil plac´e au foyer image de l’oculaire, ´etudie un petit objetAB dispos´e dans un plan de front, le pointA´etant situ´e sur l’axe optique. O`u doit ˆetreApour que l’œil effectue l’observation sans accommoder ?

2. Repr´esenter la marche d’un pinceau lumineux ´etroit issu du point B.

3. Soientα^′ l’angle sous lequel l’œil voit l’image d´efinitive de AB `a travers le microscope etαl’angle sous lequel il apercevraitAB sans instrument. Calculer le grossissementG=α^′/α.

4. En accommodant, l’œil peut observer nettement un objet situ´e `a une distance comprise entre 25 cm (Punctum Proximum) et l’infini (Punctum Remotum). De combien peut-on modifier la distance entre l’objectif et l’oculaire si l’on veut toujours pouvoir observer nettement l’objetAB(cette distance s’appelle la latitude de mise au point) ?

Correcteurs : GC07

17. Dispositif afocal form´e de lentilles convergentes

On r´ealise un syst`eme afocal au moyen de deux lentilles sph´eriques minces convergentes, dont les distances focales respectives sont ´egales `af1= 30 cm etf2= 10 cm.

1. Faire un sch´ema du dispositif et pr´eciser dans quel sens il doit ˆetre utilis´e pour observer des objets situ´es

`a grande distance de l’observateur. Par quel coefficient ces objets sont-ils rapproch´es ?

On utilise le mˆeme dispositif avec un objet situ´e `a distance finie. D´eterminer (graphiquement) le gran- dissement lin´eaire transversal et le grandissement angulaire du syst`eme. Commenter.

2. On souhaite ins´erer dans ce dispositif une troisi`eme lentille sph´erique mince de fa¸con `a ce que l’ensemble reste afocal. O`u faut-il placer cette lentille ? On appellera Ω l’intersection de cette lentille avec l’axe optique du syst`eme.

3. `A quelle condition l’image du point Ω par l’ensemble des trois lentilles est-il confondu avec Ω ? On suppose cette condition v´erifi´ee dans la suite.

4. D´eterminer (par une construction g´eom´etrique) le parcours d’un rayon qui atteint le syst`eme en se dirigeant vers le point Ω. En d´eduire la valeur du grandissement angulaireGdu syst`eme pour ce rayon.

Pourquoi ce grandissement est-il le mˆeme pour tout autre rayon ?

5. D´eterminer aussi (par une construction g´eom´etrique) le grandissement lin´eaire transversal par ce syst`eme.

6. D´eduire des constructions g´eom´etriques ci-dessus une m´ethode permettant de trouver l’imageK^′ d’un objetK quelconque de l’axe. En d´eduire la relation de conjugaison liant les positions de Ω,K,K^′. Correcteurs : GC03

18. Tripleur de focale

On r´ealise la photographie d’objets situ´es `a grande distance au moyen d’un objectif, assimil´e `a une lentille mince unique de focalef^′>0. Le plan de la pellicule est confondue avec le plan focal image de l’objectif (voir la figure 13, `a gauche).

1. Quelle est la dimensionDd’une image sur le plan de la pellicule si l’objet s’´etend sur une largeur angulaire θ? Application num´erique : calculerθpourf^′ = 300 mm etD= 36 mm.

f^′ f^′+e

d

Figure13 – Tripleur de focale

2. Pour un objet donn´e, augmenter D consiste `a augmenter f<sup>′</sup> donc l’encombrement de l’appareil. On veut ici r´ealiser l’´equivalent d’un tripleur de focale, c’est-`a-dire un dispositif qui r´ealise une image de dimension triple de celle obtenue avec l’objectif seul, tout en ayant un encombrement inf´erieur `a 3f^′. On

´ecarte pour cela (voir la figure 13, `a droite) l’objectif de la pellicule d’une distanceeavant d’ins´erer une seconde lentille (divergente sur le sch´ema) entre les deux. Cette lentille est `a la distanceddu plan de la pellicule et sa distance focale est not´eeϕ^′; elle doit introduire un grandissement ´egal `a +3, sans changer le sens de l’image.

Exprimerϕ^′ etden fonction de e. Faire l’application num´erique poure= 200 mm.

3. Le dispositif joue-t-il son rˆole de tripleur lorsqu’on l’ins`ere devant un autre objectif ? Correcteurs : GC14

19. Lunette astronomique - QCM

Une lunette astronomique est un syst`eme centr´e qui se compose d’un objectif assimilable `a une lentille mince convergenteL1 de focalefob = 100 cm, de centre optique O1, de diam`etreD = 10 cm ainsi que d’un oculaire que l’on peut assimiler `a une lentille mince convergente L2 de focale foc = 5 cm, de centre optiqueO2 et de diam`etred= 1,5 cm.

1. Calculer la distancee=O1O2 entre les centres optiques des lentilles pour que le syst`eme soit afocal : a)e= 95 cm b)e= 20 cm c)e= 105 cm d)e= 55 cm

2. Un objet situ´e `a l’infini pr´esente un diam`etre angulaireθlorsqu’il est observ´e sans instrument par un œil normal et un diam`etre angulaireθ<sup>′</sup> lorsqu’il est observ´e `a travers l’instrument. Calculer le grossissement G=θ^′/θde la lunette :

a)G=−fob/foc b)G=fob/foc c)G=−(fob+foc)/foc d)G= (fob+foc)/foc

3. On observe un objet ponctuel `a l’infini sur l’axe optique de la lunette. Quelle devrait ˆetre la valeur minimale du diam`etredmde la monture de l’oculaire pour que tous les rayons qui traversent la monture de l’objectif ressortent de l’instrument ? On s’aidera avantageusement d’un sch´ema :

a)dm= 2,5 mm b)dm= 3,5 mm c)dm= 1,5 mm d)dm= 5,0 mm

4. On appelle diaphragme d’ouverture, le diaphragme qui limite le faisceau de rayons qui traverse l’instru- ment pour la formation de l’image. Donner son diam`etred0 :

a)d0= 1,5 cm b)d0= 10 cm c)d0= 0,5 cm d)d0= 11,5 cm

5. On appelle pupille de sortie, le conjugu´e du diaphragme d’ouverture par rapport `a la lunette. Calculer la positionO2P du centreP de la pupille de sortie par rapport au centre optiqueO2de la lentille oculaire :

a)O2P = 1,2 cm b)O2P= 3,75 cm c)O2P = 1,75 cm d)O2P = 5,25 cm 6. D´eterminer son diam`etredp :

a)dp = 5 mm b)dp= 3,5 mm c)dp= 2,5 mm d)dp= 1,5 mm

7. La lunette ´etudi´ee pr´ec´edemment donne une image renvers´ee de l’objet vis´e. Pour observer des objets terrestres, on redresse cette image en ins´erant entre les deux lentilles minces convergentes, une lentille mince convergenteL3, de centre optique O3 et de focalef3= 2 cm. L’oculaireL2est alors d´eplac´e pour que la lunette terrestre reste afocale. D´eterminer la position de la lentilleL3, par rapport `a la lentilleL1, pour qu’elle donne de l’imageA1B1 fournie par l’objectifL1d’un objet `a l’infini, une imageA3B3r´eelle, renvers´ee et trois fois plus grande queA1B1:

a)O1O3= 63,32 cm b)O1O3= 102,67 cm c)O1O3= 47,25 cm d)O1O3= 75,12 cm 8. En d´eduire la nouvelle longueure^′ de la lunette :

a)e^′= 132,75 cm b)e^′= 165,25 cm c)e^′ = 152,12 cm d)e^′= 115,67 cm 9. Calculer le nouveau grossissementG^′ de la lunette :

a)G^′ = 60 b)G^′= 100 c)G^′= 50 d)G^′= 95

Correcteurs : GC12