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Donner la d´efinition d’une application injective

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Academic year: 2022

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(1)

Universit´e Paris 7-Denis Diderot MT-101

D.E.U.G.- S.M. Ann´ee 1999-00

EXAMEN PARTIEL du 26 octobre 1999 Dur´ee : 2 h

L’usage des calculatrices, t´el´ephones et de tout document est interdit.

Exercice 1

1. Donner la d´efinition d’une application injective. Exprimer le fait qu’une application f d’un ensembleE vers un ensembleF n’est pas injective.

2. Donner un exemple d’une application injective mais pas surjective, puis d’une application surjective mais pas injective.

Exercice 2 Trouver les solutions dansC de l’´equation

z2−(4 + 3i)z+ (1 + 7i) = 0.

Exercice 3

1. Repr´esenter dans le plan complexe les ensemblesD={z∈C/Re(z)<0}et B={z∈C/|z|<1}. 2. D´emontrer que si z ∈ D, on a (1 +z)/(1−z) ∈ B. D´emontrer que l’application f qui `a z associe (1 +z)/(1−z) d´efinit une bijection entreD etB. Donner la formule de la bijection r´eciproque.

Exercice 4 Posons

A0={(x, y, z)∈R3/x+y+z= 0} et

A1={(x, y, z)∈R3/x+y+|z|= 0}.

Lesquels parmi ces sous-ensembles deR3 sont des sous-espaces vectoriels ? On justifiera la r´eponse.

Références

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