UPMC Séries de fonctions et intégrales dépendant d’un paramètre 2M261 printemps 2017 Corrigé de l’examen du 15 mai 2017(durée 2h)
Aucun document ni appareil électronique n’est autorisé. Les téléphones portables doivent être éteints et rangés. L’exercice 4 est proposé en deux variantes 4A et 4B pour les étudiants des amphis A et B respectivement. Dans chaque exercice, on pourra admettre le résultat d’une question pour faire les questions suivantes. Cet examen est noté sur75. Le sujet est volontairement long et le barème donné est indicatif. Les notesą75seront comptées comme75.
Exercice 1 (5 pts). Pour tout nPN, on définitfn:RÑRparfnpxq “cospxq2n. 1. (2 pts) Pour toutxPR, déterminerfpxq “limnÑ`8fnpxq.
Correction. SixRZπ, on a|cospxq| ă1et donclimnÑ`8fnpxq “0. Par contre, sixPZπ on acospxq “ ˘1 et donc fnpxq “ 1 pour tout n. Par conséquent, la suite de fonctions pfnq converge simplement (i.e. ponctuellement) vers la fonction f définie par :
fpxq “
#1 sixPZπ 0 sinon.
2. (3 pts) La suite de fonctions pfnq converge-t-elle uniformément vers f? Justifier votre réponse.
Correction. La fonctionf n’est pas continue aux pointsxPZπ; par conséquent la conver- gence ne peut pas être uniforme.
Exercice 2 (18 pts). On considère la série entière Spzq “ř
ně2
zn npn´1q. 1. (2 pts) Déterminer son rayon de convergencer.
Correction. Pour n ě 2, posons an “ 1
npn´1q. On a an`1
an “ n´1
n`1 et ceci tend vers
`“1 quandntend vers `8. Donc le rayon de convergence deS est1{`“1.
2. (3 pts) Quel est le rayon de convergence de la série entièreTpzq “ř
ně1
zn
n ? Quel lien y a-t-il entreS etT?
Correction. Pour n ě 1, posons bn “ 1
n. On a bn`1
bn “ n
n`1 et ceci tend vers L “ 1 quandntend vers `8. Donc le rayon de convergence de T est 1{L“1. D’autre part, S est dérivable surDp0,1q, le disque ouvert de centre0et de rayon1, et sa dérivée, obtenue en dérivant terme à terme, est égale àT. En d’autres termes, S est la primitive de T sur Dp0,1qnulle en0.
On pouvait aussi commencer par observer que T est la dérivée de S donc, d’après un résultat du cours,T a même rayon de convergence queS.
3. (3 pts) Quel est le rayon de convergence de la série entièreUpzq “ř
ně0zn? Quel lien y a-t-il entreT etU?
Correction. U est une série entière géométrique ; son rayon de convergence est1. D’autre part,T est dérivable sur le disque ouvertDp0,1qet sa dérivée, obtenue en dérivant terme à terme, estU. En d’autres termes,T est la primitive de U sur Dp0,1qnulle en 0.
4. (2 pts) Calculer la dérivée de la fonction s´8,1r Ñ R, x ÞÑ p1 ´xqlogp1´xq puis déterminer une primitive surs´8,1rde la fonctionxÞÑ ´logp1´xq.
Correction. La dérivée de p1´xqlogp1´xq est ´logp1´xq ´1. On en déduit qu’une primitive sur s´8,1r de la fonction x ÞÑ ´logp1´xq est p1´xqlogp1´xq `x. C’est l’unique primitive qui s’annule enx“0.
5. (3 pts) Pour tout x P R tel que |x| ă r, exprimer Upxq, Tpxq et Spxq au moyen de fonctions usuelles d’une variable réelle.
Correction. Pour tout x P s´1,1r, on a Upxq “ 1
1´x et Tpxq “ ´logp1´xq. De plus, S est la primitive de T surs´1,1rnulle en0 donc, d’après la question précédente, on a : Spxq “ p1´xqlogp1´xq `x.
6. (2 pts) Montrer que la sérieř
ně2
p´1qn
npn´1q converge. On noteσ sa somme.
Correction. C’est une série alternée dont le terme général décroît vers 0, elle est donc convergente. Rappelons la démonstration : posant un “ p´1qn
npn´1q, la suite des sommes partielles de rang pairPn“ř2n
k“2uk(resp. de rang impairIn“ř2n`1
k“2 uk) est décroissante (resp. croissante) et les suites pPnqně1 et pInqně1 sont adjacentes. Notant σ leur limite commune, on obtient que la sérieř
ně2un converge versσ.
7. (3 pts) En utilisant les questions précédentes et un théorème du cours, déterminerσ.
Correction. Comme la série précédente converge alors, d’après le théorème d’Abel, la fonctionxÞÑSpxq est continue sur le segmentr´1,0set l’on a donc
σ“Sp´1q “ lim
xÑ´1p1´xqlogp1´xq `x“2 logp2q ´1.
Exercice 3 (14 pts). On considère la suite panq définie par a0 “ 1 et an “ an´1
3np3n´1q pour toutnPN˚.1
1. (2 pts) DéterminerlimnÑ`8 an an´1
. En déduire le rayon de convergence de la série entière fpzq “ř
ně0anzn.
1. Ceci corrige une erreur dans l’énoncé (qui était sans conséquence pour la suite).
Correction. On a an
an´1 “ 1
3np3n´1q pour toutně1, et ceci tend vers0quandnÑ `8. Donc le rayon de convergence def est `8.
On considère l’équation différentielle (E) :y2pxq “xypxq. 2. (6 pts) Soit hpxq “ ř
ně0cnxn une série entière de rayon de convergence R ą 0. En le justifiant soigneusement, montrer quehest solution de (E) si et seulement si les coefficients cn vérifient des relations de récurrence que l’on précisera.
Correction. Pour tout xP s´R, Rr, on ah1pxq “ř
kě1kckxk´1 “ř
ně0pn`1qcn`1xn et h2pxq “ ÿ
kě1
pk`1qkck`1xk´1 “ ÿ
ně0
pn`2qpn`1qcn`2xn.
Par conséquent, on a :
h2pxq ´xhpxq “2c2` ÿ
ně1
´
pn`2qpn`1qcn`2´cn´1
¯ xn
et cette série entière est identiquement nulle si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. On en déduit que h est solution de (E) si et seulement si l’on a c2 “ 0 et cn`2 “
1
pn`2qpn`1qcn´1 pour toutně1 (c0 etc1 étant arbitraires).
3. (6 pts) Trouver une série entièreφpxq “ř
ně0cnxnvérifiantφp0q “1,φ1p0q “0et solution de l’équation (E), et montrer que son rayon de convergence est`8.
Correction. Cherchons la solution sous la forme d’une série entièreφpxq “ř
ně0cnxn avec c0 “1 etc1 “0“c2. Les relations de récurrence donnent alors c3 “ 1
3¨2c0,c4 “0“c5, puisc6 “ 1
6¨5c3, etc. On obtient ainsick“0 pourknon multiple de 3et c3n“ 1
3np3n´1qc3n´3
pour tout n ě 1. Comparant avec la suite panq de la question 1, comme c0 “ 1 “ a0, on obtient c3n “ an pour tout n P N. Comme le rayon de convergence de f est `8 alors pour tout x P R la série ř
ně0c3nx3n converge vers fpx3q, et donc la série entière φpxq “ř
kě0ckxk est de rayon de convergence`8 et est solution depEq.
Exercice 4A. Uniquement pour les étudiants de l’amphi A TD 1,2,3,4,13 (12 pts) Pour toutaPR, on noteEa le C-espace vectoriel des fonctionsf :R`Ñ Cde classe C8 pour lesquelles il existe A, C PR` tels que |fptq| ď Ceat pour tout těA. Pour f PEa, on définit sa transformée de LaplaceLpfq:sa,`8r ÑCpar
Lpfqpsq “ ż`8
0
fptqe´stdt.
1. (2 pts) Pour toutkPRsoit ek la fonction tÞÑekt. Pour toutsąkcalculer Lpekqpsq.
Correction. Une primitive de tÞÑ epk´sqt est tÞÑ epk´sqt
k´s . On en déduit que poursąk, on aLpfqpsq “ 1
s´k.
2. (2 pts) Soient a P R et f P Ea. Montrer que pour tout s P sa,`8r on a Lpf1qpsq “ sLpfqpsq ´fp0q.
Correction. Pour tout T ą0etsąa, une intégration par parties donne żT
0
f1ptqe´stdt“fpTqe´sT ´fp0q `s żT
0
fptqe´stdt.
Comme lim
TÑ`8fpTqe´sT “0 poursąa, on obtient que ż8
0
f1ptqe´stdt“ ´fp0q `s ż8
0
fptqe´stdt,
ce qui est la formule cherchée.
3. (1 pt) Soit a P R. On suppose que f et f1 appartiennent à Ea. Pour tout s P sa,`8r, déterminer alorsLpf2qpsq.
Correction. Appliquant la question précédente à f1, on obtient : Lpf2qpsq “sLpf1qpsq ´f1p0q.
RemplaçantLpf1q parsLpfqpsq ´fp0q, ceci donne :
Lpf2qpsq “s2Lpfqpsq ´sfp0q ´f1p0q.
On considère l’équation différentielle avec conditions initiales :
pEq y2ptq ´3y1ptq `2yptq “0, yp0q “2, y1p0q “3.
On admet l’existence d’une solution f de (E) telle que f et f1 appartiennent à Ea (pour un certaina). On écritFpsq “Lpfqpsq dans la suite.
4. (7 pts) Transformer l’équation (E) en utilisant la transformation de Laplace, puis détermi- nerF et ensuitef.
Correction. On sait que Lpf1qpsq “sFpsq ´2etLpf2q “s2Fpsq ´2s´3. Donc, 0“s2Fpsq ´2s´3´3¨ rsFpsq ´2s `2Fpsq “Fpsqps2´3s`2q ´2s`3.
Par conséquent,
Fpsq “ 2s´3 s2´3s`2 .
La décomposition en éléments simples deF est 2s´3
s2´3s`2 “ 1
s´1 ` 1 s´2. Par conséquent,Fpsqest la transformée de Laplace de la fonction
tÞÑet`e2t.
Il est facile de voir que cette fonction est bien solution de (E).
Exercice 4B. Uniquement pour les étudiants de l’amphi B
‚
TD 5,6,7,11,12(12 pts) Pour toutaPR, on note Va leC-espace vectoriel des fonctions f :R` ÑC de classe C1 pour lesquelles il existe A, C PR` tels que |fptq| ďCeat pour tout těA. Pour f PVa, on définit sa transformée de LaplaceLpfq:sa,`8r ÑCparLpfqpsq “ ż`8
0
fptqe´stdt.
1. (2 pts) Pour toutkPRsoit ek la fonction tÞÑekt. Pour toutsąkcalculer Lpekqpsq.
Correction. Une primitive de tÞÑ epk´sqt est tÞÑ epk´sqt
k´s . On en déduit que poursąk, on aLpfqpsq “ 1
s´k.
2. (2 pts) Soient a P R et f P Va. Montrer que pour tout s P sa,`8r on a Lpf1qpsq “ sLpfqpsq ´fp0q.
Correction. Pour tout T ą0etsąa, une intégration par parties donne żT
0
f1ptqe´stdt“fpTqe´sT ´fp0q `s żT
0
fptqe´stdt.
Comme lim
TÑ`8fpTqe´sT “0 poursąa, on obtient que ż8
0
f1ptqe´stdt“ ´fp0q `s ż8
0
fptqe´stdt,
ce qui est la formule cherchée.
On considère le système différentiel pSq
#x1ptq “2xptq `yptq y1ptq “xptq `2yptq
Un théorème général, que l’on admet, assure qu’il existe une unique solutionx “f et y“g de ce système telle que fp0q “ 0 et gp0q “2, et que f et g appartiennent à Va pour un certain a donc possèdent des transformées de LaplaceF “Lpfq etG“Lpgq.
3. (8 pts) Transformer le système (S) en utilisant la transformation de Laplace, puis détermi- nerF ouG, et ensuitef etg.
Correction. En appliquant la transformation de Laplace, on obtient le système
#sFpsq “2Fpsq `Gpsq
sGpsq ´2“Fpsq `2Gpsq soit
#ps´2qFpsq ´Gpsq “0
´Fpsq ` ps´2qGpsq “2.
En ajoutantps´2qL1 à L2 et en utilisant queps´2q2´1“ ps´3qps´1q, on obtient : Fpsq “ 2
ps´3qps´1q “ α
s´3 ` β s´1
avecα`β“0et´α´3β“2. On en déduit´2β “2, d’oùβ “ ´1, puis α“1. Donc Fpsq “ 1
s´3´ 1 s´1
et ceci est la transformée de Laplace de la fonction t ÞÑ e3t´et, qui est donc fptq. En remplaçant dans la 1ère équation de (S), on obtient
gptq “f1ptq ´2fptq “e3t`et.
À titre de vérification, on vérifie que la 2ème équation de (S) est bien satisfaite : fptq `2gptq “3e3t`et“g1ptq.
Exercice 5 (24 pts). On fixe α P s0,1r et pour pt, xq P R˚`ˆR on pose fpt, xq “e´ttα´1eixt. On veut étudier les intégrales φpxq “
ż`8
0
fpt, xqdt.
1. (1 pt) SoitεP s0,1s. Calculergpεq “ ż1
ε
tα´1dt. Est-ce que limεÑ0`gpεq existe ?
Correction. Pour tout ε P s0,1s, on a : ż1
ε
tα´1dt “ 1 α
“tα‰1
ε “ 1´εα
α et comme α ą 0 ceci tend vers1{α quandεÑ0`.
2. (3 pts) Montrer que les intégrales I1pxq “ ż1
0
fpt, xqdt convergent uniformément pour xPR.
Correction. Pour x P R et t P s0,1s, on a |fpt, xq| ď tα´1. Donc, d’après la question précédente, les intégralesI1pxq convergent uniformément pour xPR.
3. (3 pts) Montrer que les intégralesI2pxq “ ż`8
1
fpt, xqdt convergent uniformément pour xPR.
Correction. Comme αă1, on a pour toutxPR ettě1 :
|fpt, xq| “tα´1e´tďe´t. Comme l’intégrale
ż`8
1
e´tdt converge, on en déduit que les intégrales I2pxq convergent uniformément pourxPR.
4. (1 pt) La fonctionxÞÑφpxq est-elle continue ? Justifier votre réponse.
Correction. Comme les intégrales I1pxq et I2pxq convergent uniformément, les fonctions I1 etI2 sont continues, donc leur somme φl’est aussi.
5. (2 pts) Montrer que ż`8
1
te´tdt converge et déterminer sa valeur. (On pourra procéder par intégration par parties.)
Correction. Pour tout Aě1 on a : żA
1
te´tdt““
´te´t‰A
1 ` żA
1
e´tdt““
´ pt`1qe´t‰A
1
et lorsqueAÑ `8ceci tend vers 2{e.
6. (4 pts) Pour tout pt, xq P R˚` ˆR, que vaut hpt, xq “ Bf
Bxpt, xq? En procédant comme ci-dessus, montrer que les intégralesJpxq “
ż`8
0
hpt, xqdtconvergent uniformément pour xPR.
Correction. Pour tout pt, xq P R˚` ˆR, on a Bf
Bxpt, xq “ itfpt, xq “ ie´ttαeixt. Comme αą0, on a|hpt, xq| ďe´tpourxPRettP s0,1sdonc les intégralesJ1pxq “
ż1
0
hpt, xqdt convergent uniformément pourxPR.
D’autre part, pour x P R et t ě 1, on a |hpt, xq| “ tαe´t ď te´t. Puisque, d’après la question précédente, la fonctiontÞÑ te´t est intégrable sur r1,`8r, il en résulte que les intégralesJ2pxq “
ż1
0
hpt, xqdt convergent uniformément pour xPR.
Remarque. Au lieu du calcul fait dans la question précédente, on pouvait dire que, commelimtÑ`8te´t{2“ 0, il existeAą0tel quete´tďe´t{2 pour touttěA, d’où la convergence uniforme des intégralesJ2pxq pourxPR.
7. (1 pts) En justifiant votre réponse, déterminerφ1pxqpour tout xPR. Correction. Comme les intégralesJpxq “
ż`8
0
Bf
Bxpt, xqdtconvergent uniformément alors, d’après un théorème du cours,φest dérivable et pour tout xPRon a :
φ1pxq “ ż`8
0
Bf
Bxpt, xqdt“i ż`8
0
e´ttαeixtdt.
8. (3 pts) Pour tout x P R, déterminer une primitive de la fonction t ÞÑ etpix´1q puis, en utilisant une intégration par parties, montrer que pour toutxPRon a :
pEq φ1pxq “ ´α
x`iφpxq “ ´αpx´iq x2`1 φpxq.
Correction. Pour tout x PR, une primitive de tÞÑ etpix´1q est tÞÑ etpix´1q
ix´1 . Alors, pour toutAą0, on a
żA
0
e´ttαeixtdt“
«
etpix´1q ix´1 tα
ffA
0
´α żA
0
etpix´1q ix´1 tα´1dt
QuandAtend vers`8, le terme tout intégré tend vers0; ceci donne 1
iφ1pxq “ ´α ix´1φpxq d’où :
φ1pxq “ ´α
x`iφpxq “ ´αpx´iq x2`1 φpxq.
9. (3 pts) On définit les fonctionsu, v, wparuptq “ t
t2`1,vptq “ 1
t2`1 etw“ ´αu`iαv.
Déterminer la primitiveU (resp.V, resp. W) de u (resp.v, resp.w) qui s’annule en0.
Correction. Comme uptq “ 1 2
g1ptq
gptq, où gptq “t2`1, la primitiveU cherchée est donnée par
Upxq “ 1 2
żx
0
g1ptq
gptq dt“ 1
2logpx2`1q.
D’autre part, une primitive devestArctan, et c’est la primitiveV qui s’annule en0. Par conséquent, on a pour toutxPR :
Wpxq “ ´αUpxq `iαVpxq “ ´α
2 logpx2`1q `iαArctanpxq.
10. (3 pts) Montrer que, pour toutxPR, on a :φpxq “φp0qeiαArctanpxq
px2`1qα{2. Correction. Comme φest solution de l’équation différentielle :
φ1pxq “wpxqφpxq
alors φpxq “ φp0qexppWpxqq. Rappelons la démonstration : pour tout x P R, posons cpxq “φpxqexpp´Wpxqq. Alors pour tout xPRon a :
c1pxq “
´
φ1pxq ´wpxqφpxq
¯
expp´Wpxqq “0
donc c est constante, de valeur cp0q “ φp0q. Il en résulte que pour tout x P R on a φpxq “φp0qexppWpxqq.
Enfin, commeWpxq “ ´α
2 logpx2`1q `iαArctanpxq, on a exppWpxqq “ eiαArctanpxq
px2`1qα{2, d’où la formule demandée.
Exercice 6 (15 pts). Soit α P R˚ et soit fα : R Ñ R la fonction 2π-périodique définie par fαptq “eαt pour touttP r´π, πr.
1. (4 pts) Pour toutnPZ calculer le coefficient de Fourier cnpfαq “ 1 2π
żπ
´π
etpα´inqdt.
Correction. Comme e˘inπ “ p´1qn, on a : cnpfαq “ 1
2π
«
etpα´inq α´in
ffπ
´π
“ p´1qn α´in
eαπ´e´απ 2π .
2. (4 pts) On admet que l’égalité de Parseval est valable pour la fonction fα. En utilisant cette égalité, déterminerTpαq “ř
nPZ
1 α2`n2. Correction. On a
1 2π
żπ
´π
e2αtdt“ 1 2π
„e2αt 2α
π
´π
“ 1
4παpe2απ ´e´2απq.
Et, d’après la question précédente, on a |cnpfq|2 “ 1 α2`n2
peαπ ´e´απq2
4π2 pour tout n.
L’égalité de Parseval donne donc peαπ´e´απq2
4π2
ÿ
nPZ
1
α2`n2 “ e2απ´e´2απ
4πα .
Commee2απ´e´2απ “ peαπ´e´απqpeαπ`e´απq, on en déduit que Tpαq “ π
α
eαπ`e´απ eαπ´e´απ.
3. (4 pts) En déduire la valeur deSpαq “ř
ně1
1
α2`n2 lorsque α“1{π.
Correction. Pour tout α P R˚ on a Tpαq “ 1
α2 `2Spαq. D’autre part, on a Tp1{πq “ π2 e`e´1
e´e´1. On en déduit : Sp1{πq “ 1
2
`Tp1{πq ´π2˘
“π2 e´1
e´e´1 “ π2 e2´1.
4. (bonus 3 pts) Soit e “ expp1q “ 2,71828.... En prenant comme valeur approchée e » 2,7“3´0,3donner une valeur approchée à10´1 près dee2´1, puis comparer la valeur obtenue pourSp1{πq avec la valeur de la sommeř
ně1
1
n2, égale àπ2{6.
Correction. Pour tout n ě 1, n2` 1
π2 est (un peu) plus grand que n2 donc Sp1{πq est (un peu) plus petit queř
ně1
1
n2 “π2{6. Comme
e2´1» p3´0,3q2´1“9´1,8`0,09´1»6,3
le résultat trouvé est plausible.
