OPTIMISATION.
Dans un disque en carton de rayon R , on découpe un secteur angulaire correspondant à un angle de mesure α radians. On superpose les bords afin
de créer un cône de révolution. On souhaite choisir l’angle α pour obtenir un cône de volume maximal.
On appelle ℓ le rayon de la base circulaire de ce cône et h sa hauteur.
On rappelle que :
le volume d’un cône de révolution de base un disque d’aire et de hauteur h est 1
3h.
la longueur d’un arc de cercle de rayon r et d’angle θ, exprimé en radians, est rθ.
Méthode 1. Polynésie juin 2017.
1. On choisit R20 cm.
a. Montrer que le volume du cône, en fonction de sa hauteur h, est V(h)1 3(400h²)h.
b. Justifier qu’il existe une valeur de h qui rend le volume du cône maximum. Donner cette valeur.
c. Comment découper le disque en carton pour avoir un volume maximum ? Donner un arrondi de α au degré près.
2. L’angle α dépend- il du rayon R du disque en carton ? Méthode 2.
On pose 2 . O n a 0 2 .
1. Montrer que le volume du cône est V( )R 3 8 ²² 4 ²². 2. Construire le tableau de variation de V sur [0 2 ].
3. En déduire la valeur de pour laquelle le volume est maximal. Cette valeur dépend-elle du rayon R du disque en carton ?
R α R
h ℓ
R α R
h ℓ
OPTIMISATION.
CORRECTION Méthode 1. Polynésie juin 2017.
1. On choisit R20 cm.
a. D après le th de Pythagore, lR²h²400h² et le volume du cône est V(h)1
3l²h1
3(400h²)h.
b. h20 (sinon il n y a pas de cône) et h0 (car c est une longueur) V est dérivable sur [0 20]
V(h)1 3(400 3h²) 4003h²0 pour h20
3 20 3
3 (car h0) On a le tab le a u d e var ia t io n :
h 0 20 3 3 20 1
3 400 3h²
V(h)
V(h) Vm a x
0 0 Le volume du cône est maximum pour h20 3 3. c. Le volume est maximal pour h20 3
3. On a alors l20²h² 400400
3 800 3 20 6
3. Le périmètre du cercle de base du cône est donc 2 20 6
3 .
Or, ce périmètre est aussi la longueur de l arc de cercle restant dans le patron, après avoir découpé le secteur circulaire d angle , c'est-à-dire 20(2 ).
Le volume est donc maximal ssi 2 20 6
3 20(2 ) et donc 2(36)
3 ra dia ns Le vo l ume e s t do nc max i mal po ur 66 ,06 °.
2. On refait les mêmes calculs et on obtient : V(h)1
3l²h1
3(R²h²)h.
Vm a x pour hR
3 R3
3
pour l R²R²
3 R6
3
pour R(2 )2R6
3
pour 226
3 2(36)
3 qui ne dépend pas de R.
L’angle α ne dépend pas du rayon R du disque en carton.
Méthode 2.
On pose 2 . O n a 0 2 .
1. Le périmètre du cercle de base du cône (de rayon l) est la longueur de l arc de cercle du patron, c'est-à-dire R.
On a donc 2lRet l .
D autre part, h R²l² Le volume du cône est alors : V( )l²h R²2
4 ² R²R² ²
4 ² Ainsi, V( )R² ²
4 R²(4 ²²)
4 ² R² ²
4 R
2 4 ²²R 3
8 ²² 4 ²² 2. V est dérivable sur [0 2 ].
V( )R 3 8 ²
24 ²²² 2
2 4 ²²
R 3 8 ²2 (4 ²²)3
4 ²²
R 3 8 ² 1
4 ²² (8 ² 3 ²), du signe de 8 ² 3 ² car 0.
8 ² 3 ²0 pour 8 ²
3
26
3 car 0.
On peut alors construire le tableau de variation : 0 26
3 2 R 3
8 ² 1 4 ²² 8 ² 3 ² V( )
V( ) Vm a x
0 0 Le volume est maximal pour 26
3 et donc pour 2 2(36)
3 radians. Cette valeur ne dépend pas du rayon R du disque en carton.
