A573 – Quatre suites polygonales
Zig écrit les termes successifs des suites polygonales S(a) pour a = 3,4,5,...jusqu’à 20. Ce faisant, il constate qu’avec quatre suites polygonales S(a), S(a+1), S(a+2) et S(a+3) :
- toute puissance à exposant entier pair > 0 de 2 est obtenue par différence de deux termes de l’une d’elles,
- toute puissance à exposant entier > 0 de 5 est obtenue par différence de deux termes - dans une seconde,
- toute puissance à exposant entier > 0 de 6 est obtenue par différence de deux termes dans une troisième,
- toute puissance à exposant entier > 0 de 7 est obtenue par différence de deux termes dans la dernière.
Déterminez les valeurs possibles de a et justifiez votre réponse.
Solution par Patrick Gordon
En notant S(a,n) le terme de rang n de la suite polygonale S(a), on sait que : 1) S(a,n) = n/2 [(a-2)n – a + 4]
Il en résulte que la différence entre deux termes consécutifs n et n+1 pour a donné est : P(n) = S(a,n+1) – S(a,n) = (a-2) (2n+1) / 2 – (a-4) / 2
La différence entre deux différences consécutives est donc : P(n+1) – P(n) = a – 2
Ainsi, les différences entre deux termes consécutifs pour a donné vont de (a-2) en (a-2). Or la première, entre S(a,1) et S(a,2), vaut (a-1). On peut donc obtenir par différence entre deux termes n'importe quelle puissance de (a-1). Pour avoir (a-1)², on prendra la différence entre n
= a et n = a+1, ce qui donne bien (a-1) selon la relation (1). De même pour (a-1)3, etc.
Par exemple, pour a = 7 :
n 1 2 3 4 5 6 7 8
S(7,n) 1 7 18 34 55 81 112 148
différences 6 11 16 21 26 31 36
Les différences vont de 5 en 5. La différence 6 est obtenue entre n = 1 et n = 2; la différence 36 (= 6 + 5 × 6) entre n = a = 7 et n = a+1= 8.
Récapitulons.
Pour a donné, on peut obtenir par différence entre deux termes n'importe quelle puissance de (a-1).
Donc,
- pour a = 5, on peut obtenir n'importe quelle puissance de 4 (donc n'importe quelle puissance paire de 2),
- pour a = 6, on peut obtenir n'importe quelle puissance de 5, - pour a = 7, on peut obtenir n'importe quelle puissance de 6, - pour a = 8, on peut obtenir n'importe quelle puissance de 7.
Donc a = 5 répond à la question.
Reste à voir si cette solution est unique.
Pour a < 5 :
- pour a = 3, les différences sont tous les nombres entiers; on peut donc obtenir n'importe quelle puissance de 4, 5, 6, 7;
- pour a = 4, les différences sont tous les nombres impairs; on peut donc obtenir n'importe quelle puissance de 5 et 7.
Ainsi :
- avec a, a+1, a+2, a+3 = 3, 4, 5, 6, on peut obtenir n'importe quelle puissance de 7, 3, 4, 5 respectivement;
- avec a, a+1, a+2, a+3 = 4, 5, 6, 7 on peut obtenir n'importe quelle puissance de 7, 4, 5, 6 respectivement.
Pour a > 5, donc a+3 > 8, on ne peut obtenir aucune des différences 4, 5, 6, 7 dans l'une au moins des quatre suites.
Conclusion : les seules solutions sont a = 3, 4, 5.
