D370 – Une part de Brie.
Problème proposé par Michel Lafond
On partage un Brie en deux parts par une coupe plane. [Voir Figure]
Le plan de coupe est (ABC) où (AB) est un diamètre du disque supérieur et C le point du disque de base tel que CA = CB situé en avant.
Que représente la petite part en pourcentage ?
Solution proposée par l’auteur Réponse : 21,2 %
Prenons l’origine du repère (O, x, y, z) au centre de la base.
Ox passe par C, Oy est parallèle à AB et Oz est l’axe de symétrie.
Soit 1 le rayon du disque supérieur et h la hauteur du cylindre.
L’équation du cylindre est
L’équation du plan (ABC) est
Pour soit M le point du disque supérieur, d’abscisse x, d’ordonnée y et situé du côté de B.
Le point N du plan (ABC) qui est situé à la verticale de M a pour abscisse x et pour cote d’après (2).
Donc
Ainsi l’aire du triangle (MNP) est
Le volume V de la part qui nous intéresse est égal au double de la somme intégrale des coupes (MNP) lorsque y varie de 0 à 1.
Puisque le volume du cylindre est il en découle que le pourcentage de la petite part est
La petite part représente 21,2 % du Brie.
A
B
C
x
y z
O 1 1
h x
M
N hx
y P
x
