MT241. Cours no 12, lundi 4 novembre 2002.
S´eries enti`eres et ´equations diff´erentielles
On va voir plusieurs aspects des rapports entre s´eries enti`eres et ´equations diff´eren- tielles. On commencera par retrouver le d´eveloppement du binˆome infini (connu de New- ton, avant 1700). On aura besoin d’un r´esultat d’unicit´e pour les ´equations diff´erentielles lin´eaires du premier ordre.
Lemme. Soit a une fonction r´eelle continue sur un intervalle I ⊂ R, soient x0 ∈I et y0 un nombre r´eel quelconque ; l’´equation diff´erentielle
(E) y0(x) =a(x)y(x)
a une solution et une seule sur l’intervalleI satisfaisant `a la condition initialey(x0) =y0; cette solution est donn´ee par
∀x∈I, y(x) =y0 exp³Z x
x0
a(t)dt´ .
D´emonstration. Consid´erons la fonction A d´efinie sur I par la formule A(x) =Rx
x0a(t)dt.
Alors A est une fonction d´erivable sur I de d´eriv´ee a, et on voit que (y0 eA)0 = y0aeA, donc la fonctionf :x→y0 eA(x) satisfait l’´equation (E), et de plus f(x0) =y0. Inverse- ment, si y est solution de (E) v´erifiant la condition initiale y(x0) = y0, consid´erons la fonction x→z(x) = e−A(x)y(x). On v´erifie que
z0(x) = e−A(x)¡
y0(x)−a(x)y(x)¢
= 0,
ce qui entraˆıne que z est constante sur l’intervalle I, donc z(x) =z(x0) =y0 et y(x) = z(x) eA(x)=y0 eA(x).
D´eveloppement en s´erie enti`ere de (1 +x)α
Soit α un nombre r´eel ; la fonction x → (1 + x)α est ind´efiniment d´erivable sur ]−1,+∞[. Elle a pour s´erie de Mac-Laurin
1 +α x+ α(α−1)
2! x2+· · ·+ α(α−1). . .(α−n+ 1)
n! xn+· · ·
Cette s´erie enti`ere a pour rayon de convergence R = 1 dans le cas α /∈ N (appliquer le crit`ere an+1/an), et pour α ∈ N on remarque que ce d´eveloppement est fini, et qu’on retrouve simplement dans ce cas la formule du binˆome. Il est donc raisonnable d’appeler le cas g´en´eral la formule du binˆome g´en´eralis´ee. Posons
µα n
¶
= α(α−1). . .(α−n+ 1) n!
avec la convention µ
α 0
¶
= 1.
Ce coefficient du binˆome g´en´eralis´e v´erifie encore la formule du triangle de Pascal, µα
n
¶ +
µ α n+ 1
¶
=
µα+ 1 n+ 1
¶ . 1
D´esignons par gla somme de cette s´erie enti`ere sur ]−1,1 [. Cette fonction est d´erivable, et sa d´eriv´ee est la somme de la s´erie obtenue en d´erivant terme `a terme la s´erie ci-dessus :
g0(x) = X+∞
n=1
α(α−1). . .(α−n+ 1) (n−1)! xn−1
et sur ]−1,1[ on a (1 + x)g0(x) = αg(x) (utiliser la relation du triangle de Pascal g´en´eralis´ee). Puisque g(0) = 1 on d´eduit du lemme que g(x) = (1 + x)α pour tout x∈]−1,1 [.
Exercice trait´e. D´eveloppement de (1−t)−1/2. On a trouv´e pour|t|<1
√ 1
1−t = X+∞
n=0
C2nn tn 4n.
On en a d´eduit le d´eveloppement en s´erie enti`ere de x → Arcsinx. On a aussi un petit peu jou´e avec la formule
√ 1
1−4s =
+∞X
n=0
C2nn sn
qui donne des relations remarquables quand on calcule le produit de la s´erie par elle- mˆeme.
Un autre aspect du rapport s´eries-´equa diff
Exercice trait´e. Soit a > 0; montrer que x → cosx est la seule solution sur ]−a, a[ de l’´equation y00+y= 0 v´erifiant les conditions initiales y(0) = 1 et y0(0) = 0.
Pour parler de solution on suppose au moins que y est deux fois d´erivable, donc continue, donc y00 = −y est continue, donc y de classe C2; mais alors y00 = −y est C2, donc y est C4 et en continuant ainsi on voit que y est C∞.
On peut ensuite se demander si y est en fait d´eveloppable en s´erie enti`ere. Si 0 <
r < a, les fonctions y et y0 sont continues sur [−r, r], donc born´ees par un certain M; en utilisant `a nouveau l’´equation diff´erentielle on voit que toutes les d´eriv´ees sont major´ees par le mˆeme M sur l’intervalle ]−r, r[. D’apr`es un th´eor`eme vu en cours, on en d´eduit quey est d´eveloppable sur cet intervalle. En utilisant une derni`ere fois l’´equation diff´erentielle et les conditions initiales on voit que les coefficients du d´eveloppement de y sont n´ecessairement ceux du d´eveloppement de cosx.
Recherche de solutions d’´equations diff´erentielles d´eveloppables en s´erie enti`ere
On traitera seulement un exemple. On consid`ere l’´equation diff´erentielle lin´eaire du second ordre
(E) y00+xy0+y = 0.
On veut trouver une solution telle que y(0) = 1 et y0(0) = 0. Une solution de l’´equation diff´erentielle (E) sur un intervalle I est une fonction x → y(x) deux fois d´erivable sur I et telle que pour tout x ∈I on ait
y00(x) +xy0(x) +y(x) = 0.
Une telle solution est obligatoirement ind´efiniment d´erivable (petit exercice).
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On pourrait g´en´eraliser la m´ethode de l’exemple pr´ec´edent pour montrer que toute solution de cette ´equation sur un intervalle ]−r, r[ est d´eveloppable en s´erie enti`ere, mais c’est un peu plus compliqu´e qu’avant et nous l’admettrons.
Cherchons donc une solution d´eveloppable en s´erie enti`ere sur un intervalle ]−r, r[.
Une telle solution s’´ecrit
y(x) =
+∞X
n=0
anxn.
On a alors par d´erivation y0(x) =
X+∞
n=1
nanxn−1; y00(x) = X+∞
n=2
n(n−1)anxn−2
de sorte quey est solution de l’´equation (E) si et seulement si pour tout x∈]−r, r[ on a
+∞X
n=0
¡(n+ 1)(n+ 2)an+2+nan+an
¢xn= 0.
Ceci ´equivaut `a dire que (n+ 2)an+2+an = 0 pour tout entiern≥0, c’est-`a-dire `a a2p = (−1)p
2pp! a0; a2p+1 = (−1)p
1.3.5. . .(2p+ 1)a1 = 0 puisqu’on a suppos´e y0(0) = 0. On trouve que
y(x) =
+∞X
n=0
(−1)n
2nn! x2n =
+∞X
n=0
(−x2/2)n n!
et on reconnaˆıt ainsi que
y(x) = e−x2/2.
C’est l’un des quelques exemples o`u on reconnaˆıt dans la s´erie solution une fonction connue. Le prochain exemple est diff´erent: on va d´efinir une nouvelle fonction par une s´erie, fonction qui ne s’exprime pas directement `a partir des fonctions d´ej`a connues.
Solution s´erie enti`ere pour l’´equation de Bessel
Plusieurs probl`emes physiques, notamment l’´etude de la vibration d’un tambour, conduisent `a s’int´eresser `a l’´equation ∆φ+φ = 0, o`u φ est une fonction d´efinie dans un disque centr´e en 0. Par raison de sym´etrie, on va chercher des solutions radiales, de la forme φ(x, y) = f(r) avec r = p
x2+y2; l’expression du laplacien en coordonn´ees polaires conduit `a l’´equation
f00(r) + 1
r f0(r) +f(r) = 0.
C’est l’une des ´equations de Bessel. Recherchons donc une fonctionx→y(x) repr´esent´ee par une s´erie enti`ere, et qui v´erifie
x y00(x) +y0(x) +x y(x) = 0 avec y(0) = 1 ety0(0) = 0. On a trouv´e
y(x) =
+∞X
n=0
(−1)n (x/2)2n (n!)2 .
C’est la fonction de Bessel J0(x). On peut aussi en donner une formule int´egrale.
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