Dérivation - Cours août 2020
Exercice 1 Dérivation – technique
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes 1. f(x) = 2x3+ 3x+ 1
2. g(x) = 0.1x5+ 2x4+x 3. h(x) = 5x8+ 4x4+x1
4. i(x) = (2x+ 1) + (4x2−1) 5. j(x) =−3x4+13x3−34x2+ 10 6. k(x) = 5x+3x22
7. l(x) = (2x+ 1)(4x2−1) 8. m(x) =x2(x−1) 9. n(x) = 5x(x4+x)
Exercice 2 Démonstrations
Dans cet exercice, nous allons démontrer quelques formules de dérivations (toutes les autres formules se démontrent de la même manière, les calculs sont juste un peu plus long).
1. Formule de dérivation def(x) = 1.
On veut connaître la dérivée def(x)au pointx. Pour cela, on définitx1=xetx2=x+havechun nombre que l’on rendra très petit.
(a) Calculer∆f
∆x =f(x2)−f(x1) x2−x1 .
(b) En rendanthtrès petit (proche de 0) déterminerf0(x) = df dx. 2. Formule de dérivation deg(x) = 2x.
On veut connaître la dérivée deg(x)au pointx. Pour cela, on définitx1=xetx2=x+havechun nombre que l’on rendra très petit.
(a) Calculer ∆g
∆x.
(b) En rendanthtrès petit (proche de 0) déterminerg0(x) = dg dx.
3. De la même façon que dans les deux questions précédentes, démontrer que la dérivée deh(x) =x2est h0(x) = dh
dx = 2x.
4. Démonstration de formule dérivation d’un produit :f(x) =u(x)×v(x)se dérive enf0(x) =u0(x)×v(x) +u(x)×v0(x).
Comme précédement, on posex1=xetx2=x+havechun nombre que l’on rendra très petit.
(a) Exprimer en fonction deuetvla quantité∆f
∆x (b) Simplifier l’expression∆u
∆x×v(x+h) +u(x)× ∆v
∆x. (c) En déduire la formule de dérivation du produit.
Exercice 3 Cercle et rayon
On travaille avec un cercle de rayonR. On définit les deux formules suivantes Périmètre :P(R) = 2πR Aire :A(R) =πR2 1. CalculerdP
dR. 2. Calculer dA
dR.
3. (*) ExprimerAen fonctionP et en déduiredA dP.
Exercice 4 Étude de variations
Soitfla fonction définie surRpar
f(t) = 0.5t4+t3+t2+ 3t+ 1 1. Calculerf0(t)puis en déduire quef0(t) = (t2+ 1)(2t+ 3).
2. Étudier le signe def0(t)et en déduire les variations def(t).
3. La fonctionf a-t-elle un maximum ? Un minimum ? Quelle est alors sa valeur ?
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