G251 : Rumeurs et mondanités
Par diverses rumeurs, N pipelets ont eu connaissance du dernier scandale qui secoue la ville mais chacun dispose d’informations très partielles qui ne se recoupent pas nécessairement entre elles.Tous réunis, ils parviendraient à reconstituer l’histoire complète de ce scandale. Au cours de conversations téléphoniques exclusivement bilatérales,ils échangent toutes les informations en leur possession et à l’issue d’un nombre minimal de cent appels téléphoniques ils parviennent à tout savoir du
scandale.Trouver N.
Ces mêmes pipelets décident de mieux se connaître et de se rendre visite en tête-à-tête.N’importe quel pipelet peut répondre à plusieurs invitations dans une même journée mais le jour où il reçoit
successivement un ou plusieurs invités, il doit rester chez lui. Quel est le nombre minimum de journées qui permettent à chaque pipelet de rencontrer tous ses pairs?
Nous pouvons classer les conversations dans l’ordre chronologique, quitte à donner un ordre aléatoire pour des conversations simultanées. Soit f(N) le nombre minimal de conversations avec N personnes; f(2)=1, mais f(3)=3 (1-2, 1-3, 1-2 par exemple) et f(4)=4 (1-2, 3-4, puis 1-3, 2-4 par exemple). Au delà, en rajoutant une personne, une conversation avec l’un des intervenants de la première avant celle-ci, et une conversation avec l’un des intervenants de la dernière après celle-ci, on déduit que f(N+1)≤f(N)+2, donc f(N)≤2N-4. Montrons par récurrence que f(N)=2N-4, pour N≥4.
Pour agréger i éléments d’information, il faut i-1 conversations en amont; pour diffuser un élément à j personnes n’en disposant pas, il faut j conversations.
Si un schéma optimal pour N+1 personnes en comportait une (nommée X) n’ayant qu’une seule conversation, il faudrait que son interlocuteur ait agrégé le reste de l’information, soit N-1 conversations en amont; il faut ensuite N-1 conversations pour diffuser l’élément apporté, soit un total de 2N-1 conversations; en supprimant la conversation unique où X participe, cela fait 2N-2 conversations, ce qui n’est pas optimal pour N personnes. En conclusion, toute personne participe à au moins deux conversations, donc f(N+1)≥f(N)+2, et donc f(N)=2N-4.
Donc pour f(N)=100, N=52.
Soit p le nombre de journées nécessaires, et attribuons à chacun p coordonnées valant 0 s’il reçoit ou 1 s’il est en visite ce jour là. Deux personnes ayant des coordonnées identiques ne peuvent se rencontrer, donc un maximum de 2p
personnes peuvent se rencontrer en p journées. Pour N=52, il faudra donc au moins 6 journées puisque 25<52<24.
