Problème G257. Attention aux nids-de-poules !
Louis ROGLIANO
Les conditions du problème conduisent à utiliser la règle de formation des régions suivante:
Étant donnésnpoints{A1, A2, . . . Ak, . . . , An}définissantR(n)régions et l’ajout du pointAn+1, chaque segment partant deAn+1 détermine une région supplémentaire pour chaque intersection des segments ex- istants et pour son extrémité. Dans le cas de la figure, nous aurons:
Intersections avec les lignes arrivant sur
Segment A1 A2 A3 . . . Ak Ak+1 . . . An
An+1 →A1 1 0 0 . . . 0 . . . 0 0
An+1 →A2 n−2 1 0 . . . 0 0 . . . 0
An+1 →A3 n−3 n−3 1 . . . 0 0 . . . 0
An+1 →A4 n−4 n−4 n−4 . . . 0 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
An+1→Ak n−k n−k n−k . . . n−k 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
An+1 →An 0 0 0 . . . 0 0 . . . 1
Après calcul, le nombre de régions ajoutées quand on passe denpoints àn+ 1est : f(n) = 1
6(n2−3n+ 8) Nous avons ensuite:
R(1) = 1
R(2) = R(1) +f(1) R(3) = R(2) +f(2)
. . .
R(k) = R(k−1) +f(k−1) . . .
R(n) = R(n−1) +f(n−1)
Par réduction des termes, nous obtenons la formule:
R(n) = 1 + 1
24n(n−1)(n2−5n+ 18) Nous obtenons:
R(5) = 16 R(10) = 256
R(17) = 2517(N >2010)
1
2
