G265. Attention à la peinture
Problème proposé par Michel Lafond
Six peintres : A,B,C,D,E,F peignent les 100 poteaux d’une clôture rectiligne.
A peint les poteaux de a en a à partir du premier ; B peint les poteaux de b en b à partir du deuxième ; C peint les poteaux de c en c à partir du troisième ; D peint les poteaux de d en d à partir du quatrième ; E peint les poteaux de e en e à partir du cinquième ; F peint les poteaux de f en f à partir du sixième.
Chaque poteau a été peint une seule fois.
a, b, c, d, e, f sont des entiers pas nécessairement distincts compris entre 1 et 100 inclus.
Combien y a-t-il de 6-uplets (a, b, c, d, e, f) possibles ?
Solution proposée par Claudio Baiocchi
Un programme peut aisément résoudre la question; notamment si (comme par exemple Turbo Pascal) le langage utilisé permet à la fois la récursion et les variables de type «set of …».
Mon ordinateur (après un temps assez important) m’a suggéré que, outre la solution triviale (6,6,6,6,6,6), les seules solutions possibles sont données par: (6,8,6,4,6,8) ; (8,6,4,6,8,6) ; (8,8,4,4,8,8) ; (10,5,5,5,5,10).
Naturellement les temps d’exécution se réduisent sensiblement si l’on admet la possibilité que quelques-uns des peintres soient «paresseux». Par exemple les règles du jeu permettent le choix
comme période du peintre A.Dans ce cas, outre la solution triviale (100,5,5,5,5,5), on trouve les solutions du type (100,6,4,6,4,6) ou (100,6,6,3,6,6) etc...
Une recherche exhaustive permet d’obtenir le tableau ci-après des 26 sextuplets possibles :
