Attention aux nids-de-poule
Problème G257 de Diophante
On trace toutes les cordes, qui relient n points pris deux à deux sur la
circonférence d’un cercle sans que trois d’entre elles soient concourantes à l’intérieur du cercle. Elles partagent le cercle en N régions disjointes entre elles. Pour n = 2, 3 et 4, on obtient respectivement N = 2, 4 et 8. Pour quelles valeurs de n, observe-t-on respectivement N = 16 puis N = 256 et enfin pour la première fois N > 2010?
Solution
Ce problème de régions est souvent posé sous la forme :
Compléter la suite 2, 4, 8, 16, ?
où, manque de pot, le terme suivant n’est pas 32 mais 31 (valeur de N pour n = 6).
Les valeurs suivantes sont
n : 7 8 9 10
N : 57 99 163 256
Pour calculer ces nombres, il est agréable de considérer un polygone régulier de n côtés, en apportant un correctif pour les intersections de plus de deux diagonales.
Le tableau ci-dessous donne le nombre M de régions délimitées par un m-gone régulier et ses diagonales (voir la suite A007678 du OEIS).
m 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
M 1 4 11 24 50 80 154 220 375 444 781 952 1456 1696 2500 Mieux, le tableau ci-dessous donne le nombre N cherché (voir la suite A000127 du OEIS).
m 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
M 2 4 8 16 31 57 99 163 256 386 562 794 1093 1471 1941 2517 Les réponses précises aux questions posées sont 5, 10 et 17.
