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G257. Attention aux nids-de-poule!

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Academic year: 2022

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G257. Attention aux nids-de-poule!

On trace toutes les cordes qui relient n points pris deux à deux sur la circonférence d’un cercle sans que trois d’entre elles soient concourantes à l’intérieur du cercle.

Elles partagent le cercle en N régions disjointes entre elles.

Pour n = 2, 3 et 4, on obtient respectivement N = 2, 4 et 8.

Pour quelles valeurs de n observe-t-on respectivement N = 16 puis N = 256 et enfin pour la première fois N > 2010 ?

Solution proposée par Paul Voyer:

Pour n=5, N=16 .

Pour n=6, N=31 et non 32 comme on aurait pu s'y attendre.

Une recherche dans OEIS donne

http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html?q=2%2C4%2C8%2C16%2C31&lan guage=french&go=Chercher

La formule est N=(n^4-6n^3+23n^2-18n+24)/24 D'où n=17 donne N=2517 , n=16 donnait 1941.

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