G257. Attention aux nids-de-poule !
On trace toutes les cordes qui relient n points pris deux à deux sur la circonférence d’un cercle sans que trois d’entre elles soient concourantes à l’intérieur du cercle. Elles partagent le cercle en N régions disjointes entre elles. Pour n = 2,3 et 4, on obtient respectivement N = 2,4 et 8.
Pour quelles valeurs de n, observe-t-on respectivement N = 16 puis N = 256 et enfin pour la première fois N > 2010?
Solution proposée par Jérôme Pierard
1. Soit le polygone inscrit dans le cercle formé par n-1 points et ses [(n-2) x (n-1)]/2 diagonales ; On place le n-ième point sur le cercle et on trace les n-1 diagonales qui en partent.
Chaque nouvelle diagonale « ferme » une nouvelle région à chaque fois qu’elle rencontre une autre diagonale ou un sommet préexistant sur le cercle (dans la mesure où chaque diagonale n’a qu’un point d’intersection avec une autre).
On numérote les sommets de 1 à n ; une diagonale partant du nouveau sommet n et rejoignant un sommet i (=1 to n-1) rencontre (n-i-1) x (n-i) diagonales et aboutit au sommet i sur le cercle et «ferme» donc [(n-i-1) x (n-i)]+1 nouvelles régions.
Un nouveau sommet n crée donc SOMME(i=1 to n-1) [(n-i-1) x (n-i)]+1
= SOMME(i=1 to n-1) i²+i(1--2n)+n²-n+1 nouvelles régions.
La somme d’une fonction de degré 2 d’entiers consécutifs correspond à une fonction de degré 3. [SOMME(i=1 to n) i² = (2n-1)(n+1)n/6]
2. La fonction f(n) qui donnent le nombre de secteurs pour n sommets correspond à SOMME(j=1 to n-1) [SOMME(i=1 to j) [ i²+i(1--2n)+n²-n+1]
La somme d’une fonction de degré 3 d’entiers consécutifs correspond à une fonction de degré 4. [SOMME(i=1 to n) i^3 = n²(n+1)²/4]
f(n) correspond donc à une fonction de la forme an^4+bn^3+cn²+dn+e.
3. On détermine trivialement les premiers résultats de la fonction f(n) : f(0)=1 ; f(1)=1 ; f(2)=2 ;f(3)=4 ; f(4)=8 ; f(5)=16.
n a b c d e f(n)
0 0 0 0 0 1 1
1 1 1 1 1 1 1
2 16 8 4 2 1 2
3 81 27 9 3 1 4
4 256 64 16 4 1 8
5 625 125 25 5 1 16
La résolution du système d’équations donne : a=1/24 ; b=-1/4 ; c=23/24 ; d=-3/4 ; e=1
f(n) est donc égale à 1/24(n^4-6n^3+23n²-18n)+1
dont les premières valeurs sont :
n f(n)
0 1
1 1
2 2
3 4
4 8
5 16
6 31
7 57
8 99
9 163
10 256
11 386
12 562
13 794
14 1093 15 1471 16 1941 17 2517
