G257 : Attention aux nids-de-poule!
On trace toutes les cordes qui relient n points pris deux à deux sur la circonférence d’un cercle sans que trois d’entre elles soient concourantes à l’intérieur du cercle. Elles partagent le cercle en N régions disjointes entre elles. Pour n = 2,3 et 4, on obtient respectivement N = 2,4 et 8. Pour quelles valeurs de n, observe-t-on respectivement N = 16 puis N = 256 et enfin pour la première fois N >
2010?
Numérotons les points de 1 à n dans l’ordre sur la circonférence; si nous ajoutons un
n+1-ième point entre n et 1, chacune des n nouvelles cordes ajoute autant de régions que le nombre d’intersections avec les cordes précédentes augmenté de un. Pour tout 1≤k≤n, la corde qui relie n+1 à k coupe les cordes reliant les points 1 à k-1 aux points k+1 à n, soit N(n+1)=N(n)+n+∑(k-1)(n-k). Le tableau ci-dessous montre que N=16 pour n=5, N=256 pour n=10, et N>2010 pour n≥17
n+1
n+∑(k-1)(n-k)
N2 2
3 2 4
4 4 8
5 8 16
6 15 31
7 26 57
8 42 99
9 64 163
10 93 256
11 130 386
12 176 562
13 232 794
14 299 1093
15 378 1471
16 470 1941
17 576 2517
