Enoncé G2966 (Diophante)
Une jolie maquette en bois de buis
Zig décide de construire la maquette d’une pyramide à base carrée dont les quatre faces triangulaires sont équilatérales avec une collection de boules en bois de buis, chacune de diamètre 30 mm et de poids 13 grammes.
Comme le montre l’image ci-dessous, il les empile les unes sur les autres et afin d’obtenir une rigidité de son montage, il met un point de colle à chaque point de contact de deux boules. Au bout d’un très long et très méticuleux travail de collage, il dénombre exactement 30000 points de colle qui nécessitent 1,175 kg de colle.
Une fois que Zig a placé la dernière boule au sommet, déterminer la hauteur de la pyramide (arrondie au millimètre le plus proche) ainsi que son poids (arrondi au gramme le plus proche).
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Dans une assise dem×m boules, les points de colle entre boules de cette assise forment 2m files de m−1 points de colle, soit pour m = 2 à n, 2(n3−n)/3.
Les boules de cette assise prennent appui chacune sur 4 boules de l’assise inférieure, soit 4m2 points de colle et pourm= 1 àn−1,
4n(n−1)(2n−1)/6 = 2(2n3−3n2+n)/3.
Au total on a 2(n3−n2) points de colle ; ce nombre est 30000 quandn= 25.
Le nombre de boules de la pyramide est la somme dem2 pour m = 1 à m= 25, soit 25·26·51/6 = 5525, pesant 5525·13 = 71825 grammes. La colle porte ce poids à 71825 + 1175 = 73000 grammes.
Sous la boule supérieure de la pyramide, les centres des 4 boules qui la supportent forment un carré de 30 mm de côté. La distance d’un coin de ce carré au centre de la boule supérieure est 30 mm et se projette sur le plan du carré selon une demi-diagonale, longue de 15√
2 mm ; par Pythagore la projection sur la verticale a la même valeur, et c’est la distance entre les plans des centres de deux assises successives.
Il y a n−1 = 24 intervalles entre assises successives, et pour avoir la hauteur totale il faut ajouter un rayon en haut et en bas, ce qui donne 360√
2 + 30 = 539,1. . .mm.
