A5908 – Concaténations à la chaîne [* à *** à la main]
Q₁ Démontrer qu’il existe une infinité dénombrable de carrés parfaits non divisibles par 10 obtenus par concaténation1 de deux carrés parfaits >0 [*]
Q₂ Démontrer qu’il existe une infinité dénombrable de carrés parfaits non divisibles par 10 obtenus par concaténation de trois carrés parfaits >0 [**]
Q₃ Démontrer qu’il existe une infinité dénombrable de carrés parfaits non divisibles par 10 obtenus par concaténation de quatre carrés parfaits >0 [***]
1 Nota : Par exemple la concaténation de 1=1² et de 36= 6² donne l’entier 136.Aucun carré parfait obtenu par concaténation ne commence par un zéro.
Solution proposée par Bernard Vignes
Q₁
On cherche des solutions du type 10x² + 9 = carré parfait = y²
Cette équation diophantienne a pour solutions les termes respectifs des suites x = 2,4,18,80,154,…et y = 7,13,57,253,487,….
En effet à partir des solutions triviales x=0, y = 3 et x=2, y = 7 on utilise la relation de récurrence donnée par Dario Alpernsur son site Alpertron : x(n+1) = 19x(n) + 6y(n) et y(n+1) = 60x(n) + 19y(n)
Voir ci-après la copie d’écran correspondante :
On obtient ainsi les solutions 49 = 7² avec concaténation de 4 et de 9, 169 = 13² avec concaténation de 16 et de 9, 3249 = 57² avec concaténation de 324 = 18² et de 9, 64009 = 253² avec concaténation de 6400 = 80² et de 9,etc….
Q₂ L’entier obtenu par concaténation des carrés parfaits x² & 4x² & 4 x² est le carré de l’entier formé par concaténation des termes x à k chiffres & k fois 0 & 2x à k chiffres avec 2x > 317….
Exemples : avec x = 23 et k = 529 & 2116 & 2116 52921162116 = 230046² , 529 = 23² et 2116 = 46².
160032² = 25610241024 concaténation de 256 = 16² & 1024= 32² & 1024 = 32² 159000318² = 25281101124101124
387200007744² = 1495523845996953659969536 etc…
Q₃
On retient les entiers n de la forme 107,10007,1000007,100000007,… c'est-à-dire 1 suivi de 2p+1 fois le chiffre 0 et enfin le chiffre 7, soit n = 102p + 7 avec p = 1,2,3,….
D’où n² = 104p + 14*102p + 49 = (10p)² & 1² & (20p)² & 7² Par exemple pour p = 2, n² = 100140049 = 100 & 1 & 400 & 49
