E645 – Casse-tête de la croix grecque [*** à la main]
Solution de Henri Amet
Dans la suite de la solution, on fait l’hypothèse que la somme des termes d’une quelconque croix grecque est égale à – 1. On part d’une grille remplie de zéros à l’exception de a8 = 1.
Il y a une méthode simple de remplissage de la grille qui consiste à remplir d’abord la ligne n°3 de b3 à g3 avec les entiers – 1 de manière que la somme des termes dans les croix
grecques dont la case centrale va de b2 à g2 soit égale à – 1. On continue de la même manière avec les cases b4 à g4 de la ligne n°4, ce qui donne la séquence d’entiers 1,2,2,2,2,1… jusqu’à la ligne n°6 où les cases b6 à g6 sont remplies avec les entiers 6,11,14,14,11, et 6. On note au passage la symétrie du remplissage par rapport à l’axe vertical qui partage l’échiquier en deux parties égales .
On désigne par x la valeur affectée à la case a6 que l’on retrouve en h6. En prenant toujours la somme des termes contenus dans les croix grecques égale à – 1, on en déduit les valeurs des cases b7 à g7 et des cases b8 à g8 en fonction de x. La somme S de tous les termes contenus dans la grille est fonction de x. Si l’on prend S = 1, il en résulte x = - 61.
Cette méthode a un avantage important car elle se généralise sans difficulté avec un échiquier de dimension n*n quelconque rempli au départ de 0 à l’exception de a8 = 1. On donne la valeur x aux cases a(n-2) et z(n-2) avec z qui désigne la dernière colonne. A partir de la troisième ligne, on remonte ligne après ligne afin de remplir n – 2 lignes à l’exception des cases a(n-2) et z(n-2) puis on calcule la valeur des cases b à y des deux lignes de rangs n – 1 et n en fonction de x . La somme totale S est une fonction linéaire de x. D'où la plus petite valeur de x qui donne S>0.
Exemple pour n = 9 :
Nota : le problème se résout également sans difficulté avec a1 = 0 au lieu de la valeur 1.
