C.B. N° 9 Correction 2012-2013

C.B. N° 9 Correction 2012-2013

Calculer les intégrales suivantes :

i) I1

( )

4 3

2 3

2 2

2 1

3x 3x 2x 1 x x

− − + dx

=

∫

− 2³ 2 2

2 1 1 1 8

3 2 ln(3) ln(2)

1 ( 1) 3

 

=  + + + −  = + −

− −

 

∫

_{x x x x} ^dx

ii) I2

( )( )

2 2

2 2

2 2 0 2

2 0

3 2

3 1 2 1

1

3 1 2 1

 

=  + − + 

=

∫

+ + ^dx

∫

_x ^dx

x x x

^= ^{3Arc tan}

( )

³x ^{− 2Arc tan}

( )

²x ^₀^{22 = 3Arctan} ₂^6^{− 2π}₄ iii) I3

( )

2 2

2 2

2 1 1

1 3 1

1

2 1

1

− −

 

= +

−

−  

− +

 

=

∫

^x + ^dx

∫

x x x x

x dx

x x

(

²

)

²

1

3 3 2 1 3 3

ln( ) ln 1 Arc tan ln(2) ln(3)

2 3 3 2 2 18

π

   

= + − + +   −  = − + +

 

 

 x x x x 

iv) I4

2 2

2 2 2

1 1

2 3

2 1

1 2

= 3 1

3 1

3 1

3 3

 

× + −

=

∫

+ ^{x x} 

∫

+

x

x x dx

x dx

^{2 2 2}

(

²

)

^{32 2}

1 1

1 2 10 2

3 1 3 1 13

3 27 27 27

 

 

=x × x +  − x +  = −

v) I5 ₀²cos ( ) sin (^{3 4} ) ₀²

(

sin ( ) sin ( )^{4 6}

)

co ( )s

π π

=

∫

^{x x dx}=

∫

^x − ^{x x dx}

^{5 7 2}

0

1 1 2

= sin ( ) sin ( )

5 7 35

 π

− =

 

 x x 

vi) I6 ln 2

5 ln 1

5

1

5 1

  

 

  

  −

=

∫

_x ^dx

e 0¹ 2

[ ]

¹0

1 2

2Arc tan( )

1 2

= × = =π

∫

_t +^t_t ^{dt t}

C.B. N° 9 Correction 2012-2013

Calculer les intégrales suivantes :

i) I1

( )

3

2 2

2

2 3

2

3 2 4

2

1 1 2 1

4 1 ( 1

7 3

1 )

4 6 1  

=  − + + − + − 

= −

− + − +

∫

^{x x x}

∫

_{x x x x} ^dx

x x

x dx

14

3ln(2) ln(3)

= − + 3

ii) I₂

( )( )

3 3

2 2

2

2 0

3 3 0 2

1 3

3 1 2 1

11 4

3 1 2 1

 

=  + 

+ +

 

= +

+ +

∫

^{x dx}

∫

_{x x} ^dx

x x

( ) ( )

3 3

0

3 3 2 3 2 6

Arc tan 3 Arc tan 2 3 Arctan

3 2 12 2 3

π

   

= +  = +  

 x x   

iii) I₃

( )

2 2

2 1 2

1 2

3 2 2

3

1 1

− +

 

=  + 

− +

− +

= 

− + 

∫

^{x x dx}

∫

_x ^x_x

x dx

x x x

(

²

)

²

1

2 3 2 1 3

3 ln( ) ln 1 Arc tan 3ln(2) ln(3)

3 3 2 9

π

   

= − − + +   −  = − +

 

 

 x x x x 

iv) I4

2 2

2 2 2

1 1 3

2 2 1

= 1 4 1 4

2

4 1

2 1

 

× + − +

 

+  

=

∫

^{x dx x}

∫

^{x dx}

x

x x

^{2 2 2}

(

²

)

^{32 2}

1 1

1 1 7 17 5

4 1 4 1 =

2 12 12

  −

 

=x × x +  − x + 

v) I5 ^{4 3} 0²

(

^{4 6}

)

2

0 cos ( ) sin ( ) cos ( ) cos ( ) sin( )

π π

= −

=

∫

^{x x dx}

∫

^{x x x dx}

5 7 2

0

1 1 2

cos ( ) cos ( )

5 7 35

− π

 

=  x + x  =

vi) I6 ² 0¹ 2

[ ]

¹0

ln 7 ln 1

7

1

7 1

1 2

2Arc tan( )

1 2

π

  

 

  

 

=

= − × = =

∫

+

∫

_x ^{dx t dt t}

t t

e