C.B. N° 12 Correction 2012-2013
1.
Calculer l’intégrale triple suivante :I =
∫∫∫
D z dx dy dz où D={
( ; ; )x y z ∈ℝ3/x+ ≤z 1;z≥0;x≥ y2;y≥0}
.01 01 0 01 01 2
(
12)
01 0(
01)
1058− − − −
=
∫ ∫
z∫
x =∫ ∫
y∫
y z =∫ ∫ ∫
x x =I zdy dx dz zdx dz dy zdz dy dx
2.
Calculer l’intégrale suivante en utilisant le changement de variables proposé :J =
∫∫
−+ où ={
( ; )∈ℝ2 / >0; >0; + <1}
x y x y
D e dx dy D x y x y x y ,
avec u = x + y et v = x – y.
( )
1 1
0
1 1
2 4
−
−
= = −
∫ ∫
uu vuJ e dv du e e
3.
SoitB
=( i→, j→, k→) une base orthonormale directe d'un espace vectoriel euclidien E.On considère l'application f : E → E , M(x ; y ; z) ֏ M'(x' ; y' ; z') tel que :
x ' 1 (40x 5y 20z) 45
y ' 1 ( 13x 40y 16z) 45
z ' 1 (16x 20y 37z) 45
= + −
= − + −
= + +
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f
Rotation d’axe Vect{(-2 ; 2 ; 1)}, d’angle -Arc cos 4 5
C.B. N° 12 Correction 2012-2013
1.
Calculer l’intégrale triple suivante :I = 2
( + )
∫∫∫
D x zy dxdydz où D = {(x ; y ; z) ∈ 3 / x≥1;y≥1;x+ ≤y 3;1≤ ≤z 2}.2 2 3
1 1 1 2
3 3 1
( ) 2 ln 2 3
−
=
∫ ∫ ∫
x +z = − I dy dx dz
x y
2.
Calculer l’intégrale suivante en utilisant un changement de variables en polaires :J = ( 2 2)
D x +y dxdy
∫∫
où D = {(x ; y) ∈ 2 / x≥0;y≥0;x2+y2 ≤1; (x−1)2+y2 ≥1}.(
1 3)
2
2cos( ) 3
7 3 5 16 24
π
π θ θ π
=
∫ ∫
= −J r dr d
3.
SoitB
=( i→, j→, k→) une base orthonormale directe d'un espace vectoriel euclidien E.On considère l'application f : E → E, M(x ; y ; z) ֏ M'(x' ; y ; z') tel que :
( )
1 2 2
x ' 1 x y 1 z
2 2 2
y ' 1 x 2y z
2
1 2 2
z ' 1 x y 1 z
2 2 2
= + + + −
= − + +
= − − + +
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f
Rotation d’axe Vect{(1 ; 0 ; 1)}, d’angle 4
−π R
R
3 π
