C.B. N° 5 Correction 2012-2013

C.B. N° 5 Correction 2012-2013

Le plan est rapporté à un repère orthonormé ^{ℜ =}

{ }

^{O i j, , .}

1- Eléments caractéristiques de la courbe dont une équation dans ℜ ^{est :} i) ^{y− −x2 6x− = ⇔11 0}

(

^x+3

)

^{2 = − ⇔y 2 X2 =Y} : parabole.

Soit ^{Ω −}

(

^{3; 2}

)

le sommet de la parabole. Dans le repère ^{ℜ = Ω'}

{ }

^{, ,i j on a :}

axe focal la droite d’équation : X =0, de paramètre 1

p=2 et donc de foyer 1

0,4 F 

 

  et de directrice d’équation : 1 Y = −4.

ii) ^{x2−4x+y2+2y+ = ⇔4 0}

(

^x−2

)

^{2+ +(y 1)2 =1} : cercle de centre ^Ω

(

^{2; 1−}

)

^{et de}

rayon 1.

iii) ^{− +x2 y2−6x−2y− = ⇔9 0}

(

^x+3

) (

^{2− y−1}

)

^{2 = −1} : hyperbole de centre

(

^3;1

)

Ω − . Dans le repère ^{ℜ = Ω'}

{ }

^{, ,i j on a :}

axe focal la droite d’équation : X = 0, sommets : ^B

(

^{0, 1 ,−}

) ( )

^{B' 0,1 ,}

2 2

2

c= a +b = ^, c 2

e= =b , foyer ^F

(

^{0,− 2}

)

, directrice : 2 Y =−2 et d’asymptotes Y = ±X ^.

2- K conique de foyer F(2, 1), de directrice D: x = 4 et d’excentricité e = 5 3^.

K :

2

36 2 64 41

( 1) 1

225 y 225x 8 

− −  −  =

 

C.B. N°5 Correction 2012-2013

Le plan est rapporté à un repère orthonormé ^{ℜ =}

{ }

^{O i j, , .}

1- Eléments caractéristiques de la courbe dont une équation dans ℜ ^{est :} i) ^{− + −x2 y 4x− = ⇔7 0}

(

^x+2

)

^{2 = − ⇔y 3 X2 =Y} : parabole.

Soit ^{Ω −}

(

^2;3

)

le sommet de la parabole. Dans le repère ^{ℜ = Ω'}

{ }

^{, ,i j on a :}

axe focal la droite d’équation : X =0, de paramètre 1

p= 2 et donc de foyer 0,1

F 4

 

  et de directrice d’équation : 1 Y = −4^.

ii) ^{x2−2y+ +9 6x+y2 = ⇔0}

(

^x+3

)

^{2+ −(y 1)2 =1} : cercle de centre ^{Ω −}

(

^3;1

)

^{et de}

rayon 1.

iii) ^{− +x2 y2+4x− +4 2y= ⇔0}

(

^x−2

)

^{2− +(y 1)2 = −1} : hyperbole de centre

(

^{2; 1}

)

Ω − . Dans le repère ^{ℜ = Ω'}

{ }

^{, ,i j on a :}

axe focal la droite d’équation : X = 0, sommets : ^B

(

^{0, 1 ,−}

) ( )

^{B' 0,1 ,}

2 2

2

c= a +b = ^, c 2

e= =b ^{, foyer F}

(

^{0,− 2}

)

, directrice : 2 Y =−2 et d’asymptotes Y = ±X ^.

2- K conique de foyer F(1, 2), de directrice D: y = 3 et d’excentricité e = 4 3^. K : ^{49 30 2 7}

(

¹

)

^{2 1}

144y 7  16 x

− − − =

 

  .