CC N° 1 Correction Math. Sup. 2012-2013 2 h

(1)

CC N° 1 Correction Math. Sup. 2012-2013 2 h

I) i) z ∈

ε

⇔ ² z² 1 z² 1 z² 1

m / z 1 2mz m

2z 2z 2z

 

+ + +

∃ ∈ + = ⇔ = ∈ ⇔ = 

 

ℝ ℝ

ii) On remplace z par x + iy et on obtient : y = 0 (avec z≠0^{) ou x}²^{+ y}²^{= 1.}

On a alors

ε

^:

II) 1) u=eⁱ^θ ⇒c =

i i3

2 2

1 u tan e tan e

1 u 2 2

π π

− = − θ = θ

+

donc :

si tan 0

2 2

c tan et (à 2 -près) arg(c) 3

2 si tan 0

2 2

π θ

 <

θ 

= π =

π θ

 >



.

2) 2 iz 1 u

u z 2i z 2 tan

2 iz 1 u 2

+ − θ

     

= ⇔ = ⇒ =

     

− +

     

si tan 0 donc z 2 tan et (à 2 -près): arg(z) 2

2 0 si tan 0

2 θ

π <

θ 

= π =

 θ >



3) (2 + iz)⁵ = (2 - iz)⁵ ^⇔

(

^u⁵ ^{= ⇔}¹

)

^^_^θ ⁼^2k₅^π ^{/ 0}^{≤ ≤}^k ⁴^^_

S 2 tank / 0 k 4 5

π

 

= ≤ ≤ 

 

4)

( (

iz + (2 - i)z - 2²

) (

⁵ = -iz + (2 + i)z - 2²

)

⁵

)

⇔

⁽ ⁽

2 iz+

^{) (}

⁵ z 1−

^{) (}

⁵ = −2 iz

^{) (}

⁵ z 1−

⁾

⁵

⁾

( ) ( ( ) ( ) )

( )

( ) ( )

5 5 5

5 5

z 1

z 1 2 iz 2 iz 0 ou

2 iz 2 iz

 =

⇔ − + − − = ⇔

 + = −



{ }

2 tan / 0 4 1

5 π

 

= ≤ ≤ 

 k ∪

S k

(2)

III) 1) Pour que la racine carrée soit définie, il faut x∈ − 2; 2 La fonction Arc sin étant définie sur [-1 ; 1], il faut

2 x2 x 2 1

− + ≤

ce qui équivaut à

(

^{2 x}⁻ ² ⁺^x

)

² ^≤⁴^{soit :}^{x 2 x}⁻ ² ^≤¹

Si x≤0, c’est vérifié ;

sinon, cela équivaut à x (2 x ) 1 soit 0² − ² ≤ ≤(x²−1) ,² qui est toujours vérifié.

Le domaine de définition de f est donc − 2; 2

( ( ) )

^{2 2sin}²

^{( )}

^{2 sin}

^{( )}

2) f 2 sin Arc sin Arc sin sin

2 4

pour ;

4 2 4

3 pour ;

4 4 2

 − α + α    π

 

α =  =  α + 

 π  π π

α + α ∈ −

  

  

=

π π π

 − α α ∈ 

  



( )

Arc sin x pour x 2;1

2 4 3) On en déduit: f x

3 x

Arc sin pour x 1; 2

4 2

  +π ∈ − 

    

  

=

π  

 −   ∈ 

  



4) La fonction racine étant dérivable sur

]

^0;^+∞

[

, et la fonction Arc sin sur ]-1 ; 1[, on en déduit que f est dérivable sur − 2; 1∪1; 2

2 2

2 2 2

x 1

x 2 x

On a alors: f '(x)= 2 x

2 2x 2 x 2 x 2 2x 2 x

− +

− + −

− =

− − − × − − d’où : (f ’(x))² = 1 ₂

2 x− L’étude du signe du numérateur de f ’(x) donne :

2 2

1 1

si x 2;1

2 x x

2 1 f '(x) 2

1 1

si x 1; 2

2 x x

2 1 2

 = ∈ − 

 −    

 − 

  

=

− −

 = ∈ 

 −  

 − 

  



(3)

On en déduit, par continuité de f sur son domaine que :

( )

¹

2

Arc sin x C pour x 2;1

f x 2

Arc sin x C pour x 1; 2 2

  + ∈ − 

    

  

=

 

−  + ∈ 

  



Le calcul de f(1) donne les constantes C₁ et C₂, comme trouvées précédemment.

IV) 1) La fonction ch étant à valeurs dans

[

^1;^+∞

[

la fonction sch est définie sur ℝ

xlim sch(x) xlim sch(x) 0.

→−∞ = →+∞ =

La fonction ch étant décroissante sur

]

^−∞^{; 0}

]

et croissante sur

[

^0;^+∞

[

, positive, et la fonction inverse étant décroissante sur

]

^0;^+∞

[

, on en déduit que sch est croissante sur

]

^−∞^{; 0}

]

^{, et}

décroissante sur

[

^0;^+∞

[

2) La fonction sch est continue, strictement décroissante de

[

^0;^+∞

[

^sur

] ]

^0;1 ^.

D’après le théorème de bijection, elle admet une application réciproque définie sur

] ]

^0;1

3) Notons D le domaine de dérivabilité de Argsch.

On a pour tout x de D : sch’(Argsch(x)) Argsch’(x) = 1, d’où :

2

sh(Argsch(x))

Argsch '(x) 1 ch (Argsch(x))

− =

2

2 2

Or pour tout réel x: ch(x) = 1 et pour tout réel positif : sh(x)= ch (x) 1 sch(x)

D ' où, pour x D : x 1 1 Argsch '(x) 1.

x

−

∈ − − =

On en déduit que Argsch est dérivable sur ]0 ; 1[, et sur cet intervalle :

2

Argsch '(x) 1

x 1 x

= −

−

4)

(

^y ^sch(x)

)

^y e^x ²e⁻^x

(

^{y e}

( )

^x ² ^2e^x ^y ⁰

)

^e^x ¹ ^{1 y}y ²

 ± − 

   

= ⇔ = + ⇔ − + = ⇔ = 

^y^∈

] ]

^0;1

Comme x^∈

[

^0;^+∞

[

, on en déduit :

1 1 y2

x ln

y

 + − 

 

=  

 

5) a) Pour tout x de

[

^0;^+∞

[

, sch(x) > 0, donc ^x

[

^0;

[

^{, 0} ^{f (x)}

2

∀ ∈ +∞ ≤ <π

(4)

b) ^{∀ ∈}^x

[

^0;^+∞

[

^,^{1 tan}+ ²

(

^{f (x)}

)

=^cos²

(

Arc cos(sch(x)¹

)

=sch (x)¹² =^{ch (x)}² c) ^{∀ ∈}^x

[

^0;^+∞

[

^tan²^{f(x) = ch}²(x) – 1 = sh²(x).

Comme ^x

[

^0;

[

^{, 0} ^{f (x)}

2

∀ ∈ +∞ ≤ < π , on a: f(x) = Arctan(sh(x)).