CC N° 4 Correction Math. Sup. 2012-2013 2 h

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I)

1) (E1) S1 = ^_^{y: 0;}

]

^{+∞ →}

[

^{ℝ; ( )y x =C+Arc tan( )x /C∈ℝ}_

x

(E2) S2 =

] [ (

²

)

2

ln 1

: 0; ; ( ) /

 + + 

 

+∞ → = ∈

 

 

 

ℝ ℝ

C x

y y x C

x

(E3) S3 =

] [

3

Arc tan( )

: 0; ; ( ) + − /

 

+∞ → = ∈

 

 ℝ C x x ℝ

y y x C

x

2) (En) Sn = ^_ ^{: 0;}

]

^{+∞ →}

[

^{ℝ; ( )= +Φ}n ^{( )/ ∈ℝ}_

C n

y y x C

x x

3)

[ ] ( )

1 1

1

2 2 2

0, , , donc en intégrant : ( )

1 1 1

n n n n

n

n

t t x x

t x t x

x t x n n

− −

∀ ∈ ≤ ≤ − ≤ Φ ≤

+ + +

on a donc

( ^{1 + 1 x}

²

) ^{n ≤ Φ x}

ⁿ

^{( )}

ⁿ

^{x ≤ 1 n d'où : lim}

^x→0

^Φ

ⁿ

^{x ( )}

ⁿ

^{x = 1 n}

(par le théorème des gendarmes).

4) On en déduit que l’équation (En) admet sur

] ^{0, +∞} [

une solution unique fn possédant une limite finie quand x tend vers 0+ : il faut C = 0. On a alors :

0

lim f ( ) 1

→ + _n

=

x

x n

^.

II) 1) et 2) évidents.

3) ∀(u, v)∈E², u et v sont deux fois dérivables et on a

∀ ∈ x

ℝ : (u’v – v’u)’(x) = u’’(x) v(x) + u’(x)v’(x) – v’’(x)u(x) – v’(x)u’(x)

= (1 + x²) u(x) v(x) – (1 + x²) v(x) u(x) = 0 (u’v – v’u) est donc une fonction constante.

4)

∀ ∈ x

ℝ f’’(x) = (1 + x²) f(x) donc f est dans E.

5) ∀x∈R, g’(x) = f ’(x) ₂

0

f ( )

∫

^x

^dt _t

^{+ f(x)}

_{f ( )}

²

¹ _x

^{= f ’(x)}

∫

₀^x

_{f ( )}

²

^dt _t

⁺

_{f ( )} ¹ _x

donc ∀x∈R, g’’(x) = f’’(x) ₂

0

f ( )

∫

^x

^dt _t

^{+ f ’(x)}

_{f ( )}

²

¹ _x

^–

_{f ( )} ^{f '(x)}

²

_x

^{= (1 + x2) f(x)}

∫

₀^x

_{f ( )}

²

^dt _t

6) Soit h∈E. D’après la question 3, la fonction h’f – f ’h est constante.

Il existe donc C∈R ^{tel que}

2 2 2

2 2 2

h'e − hxe = C donc h' hx = Ce −

⁻

.

x x x

La résolution de l’équation différentielle donne l’existence d’un réel

λ

tel que :

2 2

2 2 2

0 0 2

h(x) = e +Ce e f(x) + C f(x) f(x) + C g(x).

f ( ) λ

^{x x}

∫

^{x −t}

^dt = λ ∫

^x

^dt = λ

t

h est donc une combinaison linéaire de f et g.

7) D’après la question précédente, {f ; g} est une famille génératrice de E.

De plus, s’il existe des réels a et b tels que af + bg =0, alors en prenant x = 0, on a a = 0 et par suite b = 0. La famille {f ; g} est donc libre.

III) 1) ∀ (P; Q) ∈ E²,

λ

∈ℝ f(P+

λ

Q) = f(P) +

λ

^f(Q).

2) f(X⁰) = 0 ; f(X) = 0.

( )

2 1 1

2 2 2

0 0

2 2

f(X ) 1 ( 1) 2

2

− −

−

= =

   

=   + − =  

   

∑

^p

∑

^p

p p i i j

i j

p p

X X

i j

^;

( )

2 1

2 1 2 1 2 1

0 0

2 1 2 1

f(X ) 1 ( 1) 2

2 1

+ + − − +

= =

+ +

   

= ∑

^p

    + − = ∑

^p

  +  

p p i i j

i j

p p

X X

i j

. 3) ∀ ∈k

^2;n

, f(X^k) est un polynôme de degré k – 2.

La famille {f(X²) ; f(X³) ; … ; f(Xⁿ)} est une famille de polynômes de degrés deux à deux distincts, allant de 0 à n – 2. On a donc :

Im(f) = Vect{X⁰ ; X; …; X^n-2}.

4) rg(f) = n – 1.

D’après le théorème du rang, dim(Ker(f)) = n+1 – (n – 1) = 2.

X⁰ et X sont linéairement indépendants et dans Ker(f), donc Ker(f) = Vect{X⁰ ; X}.