II 1 I CC N° 4 Math. Sup. 2011-2012 Correction

T.S.V.P.

CC N° 4 Math. Sup. 2011-2012 Correction

I

^{1°) F}1 = {(x ; y ; z) ∈R³ / x – y – z = 0}= {(y + z ; y ; z) / (y ; z) ∈R^2} = Vect{(1 ; 1 ; 0) ; (1 ; 0 ; 1)}

F2 = {(x ; y ; z) ∈R³ / x – y + z = 0 et 2x + y – z = 0} = { (0 ; y ; y) / y∈R} = Vect { (0 ; 1 ; 1)}.

2°) On vérifie rapidement que la famille {(1 ; 1 ; 0) ; (1 ; 0 ; 1) ; (0 ; 1 ; 1)} est une famille libre de E. Comme dim(E) = 3, c’est une base.

Ainsi on peut prendre F3 = F1. Alors F₁∩ =F₃ F₁ et F¹ + F3 = F1. Remarque : Il existe d’autres supplémentaires de F2 dans E. On a : dim(F1 + F3) = dim(F1) + dim(F3) – dim(F₁∩F₃) = 4 – dim(F₁∩F₃) < 4.

Si F3 est différent de F1, alors on a nécessairement dim(F₁∩F₃) = 1, et F1 + F3 = E.

II 1

°) Soient f et g deux éléments de F et λ un réel.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )

¹

(

¹

)

²

( ) (

²

( )

¹

( )

²

( ) )

1 2

1 2 1 2 0

f g n a f g n a f g n

n f n a f n a f n g n a g n a g n

+ λ + + λ − + + λ − =

 

∀ ∈  

 + − + − + λ + − + − = 

 

ℤ

De plus, la fonction constante égale à 0 est dans F.

2°) Si une fonction f de F vérifie f(1) = a et f(2) = b, alors on a nécessairement

( )

3 1

( )

2 2

( )

1

f = −a f −a f et définissant de proche en proche f jusqu’à n – 1 (n∈ℕ_{), on a} nécessairement : f n

( )

= −a f n1

(

− −1

)

a f n2

(

−2

)

.

De même, on construit f sur les négatifs de proche en proche en prenant pour tout entier

naturel n :

( ) (

¹

( ) ( ) )

2

1 1 2

f n a f n f n

− = −a − + + − +

La fonction f construite ainsi est bien dans F, et c’est la seule vérifiant les conditions voulues.

3°) Soit

( )

^{λ µ ∈; ℝ2 tel que} λϕ + µϕ =1 2 0. Alors, λϕ1

( )

1 + µϕ2

( )

1 =0 ^d’où λ ^{= 0 et}

( ) ( )

1 2 2 2 0

λϕ + µϕ = d’où µ= 0 . La famille {ϕ₁; ϕ₂} est donc une famille libre de F.

De plus pour tout fonction f de F, on a :

f(1) = ( f(1)ϕ₁(1)+ f(2)ϕ₂(1)) et f(2) = ( f(1)ϕ₁(2)+ f(2)ϕ₂(2)).

Les fonctions de F étant définies par leurs valeurs en 1 et 2, on a :

f = f(1)ϕ₁+ f(2)ϕ₂. La famille {ϕ₁; ϕ₂} est donc une famille génératrice de F.

En conclusion, la famille {ϕ₁; ϕ₂} est une famille base de F.

4°) Si f est dans F, on a pour tout n de ℤ : αⁿ+a₁αⁿ⁻¹+a₂αⁿ⁻² =0 donc α²+a₁α+a₂ =0. La réciproque est immédiate, donc f est dans F si et seulement si α est solution de l’équation

2

1 2 0

x +a x+a =

5°) On suppose que a₁² >4a₂, l’équation x²+a x₁ +a₂ =0 admet donc deux solutions réelles distinctes.

Soit

( )

^{λ µ ∈; ℝ2 tel que λ + µ =f g 0.}

Pour n = 0, on a : λ + µ =0, et pour n = 1, on a : λα + µβ =0 ; donc ^{λ = −µ et λ α −β =}

( )

^0.

Comme α ≠ β, on a : λ = µ =0 . La famille {f ; g} est donc libre. Comme on a vu à la question 3°) que dim(F) = 2, {f ; g} est une base.

6°) On suppose que a₁² =4a₂, l’équation x²+a x₁ +a₂ =0 admet donc pour unique solution

1

2

γ = −a . Pour tout n de ℤ on a :

( )

¹

(

¹

)

²

(

²

) (

²

)

^{n 2}

(

^{2 1 2}

)

ⁿ¹

⁽

^{2 1}

⁾

⁰

h n +a h n− +a h n− = − γn ⁻ γ + γ +a a + γ ⁻ γ +a = h est donc dans F.

On sait que la fonction k définie pour tout n de ℤ par k(n) = γⁿ est dans F.

Soit

( )

^{λ µ ∈; ℝ2 tel que λ + µ =h k 0} ; pour n = 0, on a µ =0, et pour n = 1, on a : λ =0^. La famille {h ; k} est donc libre. Comme dim(F) = 2, c’est une base de F.

III

Soient n∈ℕ_{* et An = nX}ⁿ⁺¹ - (n + 1)Xⁿ

1- n∈ℕ_{* et An = nX}ⁿ⁺¹ - (n + 1)Xⁿ : ∃!^(Q,R)∈^{(K[X])2 / A}n = (X - 1)Q + R avec d°(R)<1, donc R constant et A_n(1) = -1 = R.

Alors : A_n + 1 = nXⁿ⁺¹ – nXⁿ – Xⁿ + 1 = nXⁿ(X-1) – (X-1)(X^n-1 + X^n-2 + … + 1) Donc An = (X-1)(nXⁿ – (X^n-1 + X^n-2 + … + 1)) - 1.

2- Soit Sn = nXⁿ - X^n-1 - … - X - 1.

a) S_n(1) = n – n = 0, donc S_n est divisible par (X - 1).

b) Xⁿ⁺¹- 1 = (X - 1) (Xⁿ + X^n-1 + … + 1).

c) En dérivant on obtient :

(n+1)Xⁿ = Xⁿ + X^n-1 + … + 1 + nX^n-1 + (n-1)X^n-2 + … + 1, donc : Sn = nXⁿ - (X^n-1 + X^n-2 + … + 1)

= (X - 1)( nX^n-1 + (n-1)X^n-2 + … + 1) 3- A_n = (X-1)S_n – 1 = (X - 1)²(nX^n-1 + (n-1)X^n-2 + … + 1) - 1

IV

1- I1 = ¹1 2 3

1 2 1

1 1 dx

x x x

 

− +

 

+ +

 

∫

^{= ln}_{ 3 1}⁶₊ ^_^{− =π}₆ ^{ln 3}

( (

^{3 1−}

) )

^−π₆

I₂ = ² ₂

0

1 3 5 3

ln(7) Arctan

1 2 3 3 3 6

xdx

x x = − + ×

∫

+ + ^π

2- I =

( )( ) ( )

6 5 4 3 2

4 2

2 2

6

tan tan 3 tan 5 tan tan 2 tan 1

1 tan

tan tan tan 1

t t t t t t

t dt

t t t

π

π + + + + + + +

+ +

∫

2

3 1 tan

(1 tan ) 1

3

3 2

u t

du t dt

x x

=

= +

 

=  + 

  ^{+ I1 = 7}₃^{− 319}₂₇^{+ln 3}

( (

^{3 1−}

) )

^−π₆ ^.