CC N° 3 Correction Math. Sup. 2012-2013 2 h

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I) φn(x) =

n

p n-p

p 0

p n

f x (1 x) .

p

= n

  

  −

    

∑

1) φn(x) =

n

p n-p n

p 0

n x (1 x) (x (1 x)) 1

= p

  − = + − =

  

∑

2) a)

( )

n n!p n(n 1)! n 1

p n

p (n p)!p! (n 1) (p 1) !(p 1)! p 1

−

 = = − =  

   

−

− − − − −

   

( )

n n

p n-p p n-p

n

p 0 p 1

n n 1

p 1 n-1-(p-1) k n-1-k

p 1 k 0

n 1

n p n 1

b) (x) x (1 x) x (1 x)

p n p 1

n 1 n 1

x x (1 x) x x (1 x)

p 1 k

x x (1 x) x

= =

− −

= =

−

−

   

ϕ =    − =  −  −

− −

   

=   − =   −

 −   

= + − =

∑ ∑

∑ ∑

3) a) φn(x) =

p 1 n

n

p n-p

n n

p 0

n e x (1 x) e x (1 x)

= p

 

  − = + − 

    

∑

b)

1

n n ln 1 x en 1 1

e xn (1 x) e

  

 +  −

  

 

 

+ − =

 

 

Quandn → + ∞ :

1 1

n n x

ln 1 x e 1 x e 1

n

     

     

+ − −

     

     

   

 

∼ ∼ _donc ^x

n

lim

n

(x) e .

→+∞

ϕ =

II) Soient n∈ℕ_{* et An = nX}ⁿ⁺¹ – (n + 1)Xⁿ

1) ∃^!

(

^,

)

∈

(

ℝ

[ ] )

^2/ =

(

−¹

)

+ avec deg

( )

<1, donc = =

Q R X An X Q R R R a Cte

Or An(1) = a = -1 et An + 1 = nXⁿ⁺¹ – nXⁿ + Xⁿ + 1 = nXⁿ (X – 1) + (X – 1)

n 1 i i 0

X

−

=

∑

donc An = ^{n n 1 i}

( )

i 0

nX X X 1 1

−

=

 

− − −

 

 ∑ 

2) a) Sn(1) = 0 donc Sn est divisible par (X – 1).

b) Xⁿ⁺¹ – 1 = (X – 1)

n i i 0

X

=

∑

c) Soit Pn = Xⁿ⁺¹ – 1 ; Pn’ = (n+1) Xⁿ =

n i i 0

X

=

∑

^{+ (X – 1) n i 1}

i 1

iX

⁻

=

∑

On en déduit que nXⁿ + Xⁿ –

n i i 0

X

=

∑

^{= (X – 1) n i 1}

i 1

iX

⁻

=

 

 

 ∑ 

^{d’où Sn} = (X – 1)

n i 1 i 1

iX

⁻

=

 

 

 ∑ 

^. 3) An = Sn (X – 1) - 1 =

n i 1 i 1

iX

⁻

=

 

 

 ∑ 

^{(X – 1)2 - 1.}

III) Soit g la fonction de ℝ _vers ℝ définie par : g(x) =

chx 1 x

−

.

1)

2 0

chx 1 + 2

∼ x

donc

0

g(x) 2

∼x

. La fonction g est donc prolongeable par continuité en 0 en h telle que h(x)=

g(x) si x 0

0 si x = 0

≠

 



2) ₂

0

h(x) h(0) chx 1 h(x) h(0) 1

Pour x 0, d'où

x 2

− − −

≠ =

∼

x x

On en déduit que la fonction h est dérivable en 0. Elle est donc dérivable sur son domaine (par quotient de fonctions dérivables), et on a :

h'(x)=

2

x sh(x) ch(x) + 1

si x 0 x

1 si x = 0 2

−

 ≠

 

 

On a :

x sh(x) = x x + o (

⁰

( ) x

²

) et ch(x) =1 ^x

²

o

⁰

^{( )} x

³

, + 2 +

( )

0

d'où h'(x) = 1 o x 2 +

On en déduit que la fonction h’ est continue en 0, étant continue ailleurs par les théorèmes généraux, on en déduit que h est de classe C¹ sur ℝ.

3)

^{h(x) = x} ₂ ⁺ ₂₄ ^x

³

^+o

⁰

( ) ^x

³ , on en déduit que la tangente à Ch est la droite d’équation y =

x

2

, et qu’au voisinage de O, la courbe est en dessous de la tangente pour x < 0, et au dessus pour x > 0.