Corrig´ e de l’examen du 30 novembre 2015

Universit´ e Claude Bernard Lyon 1

M1 HPDS EADM – G´ eom´ etrie

Corrig´ e de l’examen du 30 novembre 2015

Les documents et les calculettes sont interdits. Il sera tenu compte de la qualit´ e de la r´ edaction pour l’attribution d’une note.

Les questions. – Les questions sont ind´ ependantes les unes des autres.

Chaque question rapporte 2 points.

1.– Soient p nombres r´ eels λ

, ..., λ

tels que λ =

p

X

i=1

λ

6= 0 et f d´ efinie par

f : E −→ − → E M 7−→ P

i=1

λ

−−→

M A

.

Montrer que f est une bijection.

R´ep.– SoitO∈E.La relation de Chasles entraˆıne f(M) =f(O) +

p

X

i=1

λ_i

!−−→

M O.

Soit−→u ∈−→

E ,l’´equationf(M) =−→u a une unique solution donn´ee par

−−→OM = 1

λ(f(O)− −→u).

2.– Montrer que si − →

F ⊂ − →

E est stable par une application orthogonale

−

→ f : − →

E −→ − →

E alors − →

F

est ´ egalement stable par − → f .

R´ep.– Soity∈−→

F^⊥,il faut montrer que−→

f(y)∈−→

F^⊥.Par d´efinition y∈−→

F^⊥ ⇐⇒ ∀x∈−→

F : hx, yi= 0.

Puisque −→

F est stable−→ f(−→

F)⊂−→

F) et comme−→

f est une application orthogonale, elle est bijective et on a en fait−→

f(−→ F) =−→

F . Ainsi y∈−→

F^⊥ ⇐⇒ ∀x∈−→

F : hy,−→

f⁻¹(x)i= 0

⇐⇒ ∀x∈−→ F : h−→

f(y), xi= 0

⇐⇒ −→

f(y)∈−→ F^⊥.

3.– Soit la famille de droites (D

)

donn´ ees par a(t)x + b(t)y + c(t) = 0 o` u les fonctions a, b, c ∈ C

(I) sont telles que

∀t ∈ I, (a(t), b(t)) 6= (0, 0) et δ(t) = a(t)b

(t) − b(t)a

(t) 6= 0.

Montrer que la courbe enveloppe t 7−→

(x(t), y(t)) est donn´ ee par x(t) = 1

δ(t)

b(t) c(t) b

(t) c

(t)

et y(t) = − 1 δ(t)

a(t) c(t) a

(t) c

(t)

.

R´ep.– Les conditions

∀t∈I, γ(t)∈Dt et γ⁰(t)∈−→ Dt

conduisent aux deux ´equations

a(t)x(t) +b(t)y(t) +c(t) = 0 a(t)x⁰(t) +b(t)y⁰(t) = 0

En d´erivant la premi`ere ´equation et compte tenu de la seconde, ce syst`eme implique le suivant

a(t)x(t) +b(t)y(t) +c(t) = 0 a⁰(t)x(t) +b⁰(t)y(t) +c⁰(t) = 0 dont la r´esolution fournit les expressions dex(t) ety(t) de l’´enonc´e.

4.– Ecrire l’´ equation cart´ esienne de la tangente au point P = (1, 1) de la conique euclidienne C = {(x, y) ∈ E

| 5x

− 10xy − y

+ 4x + 3y − 1 = 0}.

R´ep.– Soient F(x, y) := 5x²−10xy−y²+ 4x+ 3y−1 etP = (x₀, y₀)∈C.D’apr`es le cours, si (Fx(x0, y0), Fy(x0, y0))6= (0,0), C admet une tangente enP dont une ´equation cart´esienne est donn´ee par

(x−x₀)F_x(x₀, y₀) + (y−y₀)F_y(x₀, y₀) = 0.

On aFx(1,1) = 4 etFy(1,1) =−9 doncCadmet une tangente en (1,1) dont une ´equation cart´esienne est 9y−4x= 5.

5.– Soit γ : [a, b] −→ R

une courbe r´ eguli` ere, S : [a, b] −→ [0, L]

t −→ S(t) = R

a

kγ

(u)kdu

son abscisse curviligne et ϕ : [0, L] −→ [a, b] l’inverse de S. Montrer que s −→ γ ◦ ϕ(s) est une courbe param´ etr´ ee par la longueur d’arc.

R´ep.– PuisqueS◦ϕ=idon a

∀s∈[0, L], ϕ⁰(s) = 1

S⁰(ϕ(s))= 1 kγ⁰(ϕ(s))k. Or

(γ◦ϕ)⁰(s) =ϕ⁰(s)γ⁰(ϕ(s)) = γ⁰(ϕ(s)) kγ⁰(ϕ(s))k. Par cons´equentk(γ◦ϕ)⁰(s)k= 1 pour touts∈[0, L].

Le probl` eme. – (10 pts) Soient E un plan affine euclidien orient´ e, O un point de E et k ∈ R

. On appelle inversion de pˆ ole O et de rapport k la transformation

I

: E \ {O} −→ E \ {O}

M 7→ M

= O + k OM

−−→ OM

Le but de ce probl` eme est d’´ etudier les propri´ et´ es des inversions.

1) i) Montrer que I

◦ I

= Id

. En d´ eduire que I

est inversible.

ii) D´ eterminer l’ensemble des points fixes de I

selon la valeur de k.

R´ep.– i) De la relation

−−−→ OM⁰= k

OM²

−−→OM on d´eduit

OM⁰²= k²

OM⁴OM²= k² OM² Par cons´equent

IO,k◦IO,k(M) =IO,k(M⁰) =

O+ k OM⁰²

−−−→ OM⁰

=

O+OM² k

k OM²

−−→OM

=M.

AinsiIO,k◦IO,k=Id_E\{O} et I_O,k⁻¹ =IO,k. ii) SoitM ∈E\ {O}un point fixe de f,on a :

−−→ k −−→

Par cons´equent, sik >0 l’ensemble des points fixes est un cercle de rayon √

k. Sik <0, cet ensemble est vide.

2) i) D´ eterminer la compos´ ee I

◦ I

de deux inversions de mˆ eme pˆ ole.

ii) Soit h

l’homoth´ etie de centre O et de rapport λ 6= 0. D´ eterminer h

◦ I

.

iii) Les inversions sont-elles des applications affines ?

iv) L’ensemble des inversions muni de la loi ◦ forme-t-il un groupe ?

R´ep.– i) On a

IO,k◦IO,k⁰(M) =IO,k(M⁰) =

O+ k OM⁰²

−−−→ OM⁰

=

O+kOM² k⁰²

k⁰ OM²

−−→OM

=O+ k k⁰

−−→OM ainsiIO,k◦IO,k⁰ est l’homoth´etieh_O,k

k0 de centreO et de rapport _k^k0 restreinte `aE\ {O}.

ii) On a

hO,λ◦IO,k(M) =hO,λ(M⁰) =O+λ−−−→

OM⁰=O+ λk OM²

−−→OM ainsihO,λ◦IO,k est l’inversion de centreO et de rapportλk.

iii) Non. D’abord elles ne sont pas d´efinies sur toutE. Ensuite, sik >0 le lieu des points fixes est un cercle, et non un sous-espace affine. Sik <0, alors le lieu des points fixes de hO,−1◦IO,k est encore un cercle. Par cons´equenthO,−1◦IO,k ne peut ˆetre affine, ce qui implique, puisqueh_O,−1 est affine, queI_O,k ne l’est pas.

iv) Non, l’ensemble des inversions n’est pas un groupe puisque la compos´eeIO,k◦IO,k⁰ est une homoth´etie et non une inversion.

3) On identifie le plan affine E ` a C .

i) Si A est un point d’affixe a, montrer que l’inversion I

envoie le point d’affixe z = x + iy sur le point d’affixe

z

= a + k (z − a)

|z − a|

ii) Soient C

le cercle d’´ equation x −

+y

=

, (D

) la droite d’´ equation y = mx et γ(m) = x(m) + iy(m) le point d’intersection D

∩ (C

\ {O}).

D´ eterminer l’affixe x(m) + iy(m) de γ(m).

iii) Soit x+iy l’affixe d’un point quelconque de C

\{O}. Montrer que γ

=

x + iy.

iv) Montrer que

γ : R −→ E ' C m 7−→ γ(m) a pour support C

\ {O}.

v) Calculer I

(γ(m)) et montrer que I

transforme C

\ {O} en la droite tangente T

C

` a C

en z = 1.

R´ep.– i) SiM a pour affixez, la relation

−−→AM⁰= k AM²

−−→AM

s’´ecrit

z⁰−a= k

(z−a)(¯z−¯a)(z−a) d’o`u la relation demand´ee.

ii) En substituanty=mxdans x−¹₂²

+y²=¹₄ il vient x((1 +m²)x−1) = 0.

La solution x= 0 est `a exclure car elle correspond au point O. Il reste donc x=_m2¹+1 et y= _m^m2+1.

iii) On a

γ(m) =γy x

= 1

y x

² + 1

+i

y x y x

² + 1

= x

x²+y²(x+iy) Puisque x+iy est un point deC₀ on a aussi

x−1

2 ²

+y²=1

4 ⇐⇒ x²+y²=x.

Par cons´equentγ ^y_x

=x+iy.

iv) Par constructionγ(R)⊂ C0\ {O}. Il suffit donc de montrer la surjectivit´e deγ.Notons que six+iy est l’affixe d’un point quelconque deC0\ {O}alorsx >0.D’apr`es la question pr´ec´edenteγ ^y_x

=x+iy d’o`u la surjectivit´e.

v) On aIO,1(z) = _|z|^z2 et γ(m) = _1+m^1+im2 d’o`u|γ(m)|²=_1+m¹ 2 et IO,1(γ(m)) = 1 +im

1 +m²×(1 +m²) = 1 +im

AinsiI_O,1 transforme C₀\ {O} en la droitex= 1, c’est-`a-dire en la droite tangente `a C₀ enz= 1.

4) Soit R

la rotation de centre θ d’angle θ.

i) Montrer que R

◦ I

= I

◦ R

.

ii) Soit C

le cercle de centre

et de rayon

. Montrer que I

transforme C

\ {O} en sa droite tangente T

C

en z = e

.

R´ep.– i) On aR_A,θ(z) =a+e^iθ(z−a) d’o`u R_A,θ◦I_A,k(z) = a+e^iθ

a+k(z−a)

|z−a|²

−a

= a+k(e^iθz−e^iθa)

|e^iθz−e^iθa|² et

I_A,k◦R_A,θ(z) = a+k((a+e^iθ(z−a))−a)

|(a+e^iθ(z−a))−a|²

= a+k(e^iθz−e^iθa)

|e^iθz−e^iθa|² AinsiRA,θ◦IA,k=IA,k◦RA,θ.

ii) On a Cθ\ {O}=RO,θ(C0\ {O}) et T_eiθCθ=RO,θ(T1C0).Ainsi

IO,1(Cθ\ {O}) =IO,1◦RO,θ(C0\ {O}) =RO,θ◦IO,1(C0\ {O}) =RO,θ(T1C0) =T_eiθCθ.

5) i) Montrer que h

λ

◦ I

= I

◦ h

.

ii) Soit D une droite ne passant pas par l’origine. Montrer qu’il existe θ tel que D soit parall` ele ` a T

C

.

iii) En d´ eduire que I

transforme toute droite ne passant pas par l’origine O en un cercle ´ epoint´ e C \ {O}.

R´ep.– i) On a

h_A,1

λ ◦IA,k(z) =a+ k(z−a) λ|z−a|² =I_A,k

λ

d’apr`es la question 2.ii) et

IA,k◦hA,λ(z) =a+k((a+λ(z−a))−a)

|(a+λ(z−a))−a|² =a+ kλ(z−a)

|λ(z−a)|² =a+ k(z−a) λ|z−a|² =I_A,k

λ

ii) SoitD une droite quelconque ne passant pas par l’origine. Soit ∆ la perpendiculaire `a D passant par l’origine. Notons θl’angle entre l’axe des r´eels et ∆.Un vecteur directeur de D est doncv<sub>θ</sub>= (−sinθ,cosθ). Or, v<sub>θ</sub> est ´egalement vecteur directeur deT<sub>e</sub>iθCθ.Par cons´equent, les deux droites sont parall`eles.

iii) PuisqueDetT_eiθC_θsont parall`eles, il existe une homoth´etieh_O,λtelle queh_O,λ(T_eiθC_θ) = D. On a donc

IO,1(D) =IO,1(hO,λ(T_eiθCθ)) =h_O,1

λ(IO,1(T_eiθCθ)) =h_O,1

λ(Cθ\ {O})

et h_O,1

λ(C_θ\ {O}) est cercle priv´e de l’origine. Pr´ecis´ement, siC est le cercle de diam`etre [OH] o`u H = ∆∩D, alorsh_O,1

λ(Cθ\ {O}) =C \ {O}.

6) Soient C un cercle de centre Ω et de rayon R, et A un point de E. La puissance P

(A) de A par rapport ` a C est le nombre AΩ

− R

.

i) Soit D une droite passant par A et coupant C en deux points (distincts ou confondus) M et M

. Montrer que h −−→

AM , −−→

AM

i = P

(A).

ii) On dit que deux cercles C et C

sont orthogonaux quand ils sont s´ ecants et que les tangentes aux points d’intersection sont orthogonales. On note alors C ⊥ C

. Montrer que les cercles C et C

(de centre Ω et Ω

et de rayon R et R

) sont orthogonaux si et seulement si P

(Ω) = R

, ou encore, si et seulement si P

(Ω

) = R

.

iii) Soient I

une inversion avec k > 0, C son cercle de points fixes, M un point quelconque de E et M

son image par I

. Montrer que tous les cercles passant par M et M

sont orthogonaux au cercle C .

R´ep.– i) SoitM⁰⁰ le point deC diam´etralement oppos´e `aM⁰. On a h−−→

AM ,−−→

AM⁰i = h−−−→

AM⁰⁰,−−→

AM⁰i = h−→

AΩ +−−−→

ΩM⁰⁰,−→

AΩ +−−→

ΩM⁰i

= h−→

AΩ−−−→

ΩM⁰,−→

AΩ +−−→

ΩM⁰i = AΩ²−R². ii) En appliquant le th´eor`eme de Pythagore, il vient imm´ediatement

C ⊥ C⁰ ⇐⇒ ΩΩ⁰²=R²+R⁰² Or P_C(Ω⁰) = ΩΩ⁰²−R² donc

C ⊥ C⁰ ⇐⇒ P_C(Ω⁰) =R⁰². De mˆemeP_C⁰(Ω) = Ω⁰Ω²−R⁰² et donc

C ⊥ C⁰ ⇐⇒ P_C⁰(Ω) =R². iii) SoitC⁰ un cercle passant par M etM⁰. On a

C ⊥ C⁰ ⇐⇒ PC⁰(Ω) =k car le cercle Cdes points fixes de I_Ω,k est de rayon√

k d’apr`es la question 1) ii. Or P_C⁰(Ω) =h−−→

ΩM ,−−→

ΩM⁰i=h−−→

ΩM , k ΩM²

−−→ΩMi=k.

7) Soit C et C

deux cercles non concentriques de centre Ω et Ω

et de rayon

R et R

. On consid` ere

i) Montrer que D est une droite perpendiculaire ` a (ΩΩ

). Cette droite s’ap- pelle l’axe radical de C et C

.

ii) On suppose que C ∩ C

est non vide et on consid` ere un point A ∈ C ∩ C

. Montrer que A ∈ D.

R´ep.– i) On a

M ∈ D ⇐⇒ PC(M) =PC⁰(M)

⇐⇒ MΩ²−R²=MΩ⁰²−R⁰²

⇐⇒ MΩ²−MΩ⁰²=R²−R⁰²

⇐⇒ h−−→

ΩM+−−→

Ω⁰M ,−−→

ΩM−−−→

Ω⁰Mi=R²−R⁰²

⇐⇒ h−−→

ΩM+−−→

Ω⁰M ,−−→

ΩΩ⁰i=R²−R⁰²

⇐⇒ h2−−→

ΩM +−−→

Ω⁰Ω,−−→

ΩΩ⁰i=R²−R⁰²

⇐⇒ h−−→

ΩM ,−−→

ΩΩ⁰i= 1

2(R²−R⁰²+ ΩΩ⁰²) Puisque les cercles ne sont pas concentriques−−→

ΩΩ⁰6=−→

0 et la derni`ere relation montre que l’ensembleDest une droite perpendiculaire `a (ΩΩ⁰).

ii) Pour tout point M ∈ C, on a P_C(M) = 0. De mˆeme, pour tout point M ∈ C⁰, on a P_C⁰(M) = 0. Donc siA∈ C ∩ C⁰ alorsP_C(A) =P_C⁰(A) = 0 et par cons´equent A∈ D.

8) Soient A et B deux points de E \ {Ω}, et A

, B

leurs images par I

, k > 0. On suppose que les points A, A

et B sont tous distincts.

i) Montrer que si A, A

et B sont align´ es alors B

est sur la droite (AA

).

ii) Montrer que si A, A

et B sont cocycliques alors B

appartient au cercle passant par A, A

et B.

Indication : on pourra consid´ erer les puissances P

(Ω) et P

(Ω) o` u C est le cercle passant par A, A

et B et C

le cercle passant par B, B

et A.

R´ep.– i) N´ecessairementA⁰ ∈(ΩA) et B⁰∈(ΩB). SiB ∈(AA⁰) = (ΩA) alors (ΩA) = (ΩB) etB⁰ ∈(ΩA) = (AA⁰).

ii) SoitC le cercle passant parA, A⁰ et B.On a P_C(Ω) =h−→

ΩA,−−→

ΩA⁰i=h−→

ΩA, k ΩA²

−→ΩAi=k

De mˆeme, soitC⁰ le cercle passant parB, B⁰ etA. On a P_C⁰(Ω) =h−→

ΩB,−−→

ΩB⁰i=h−→

ΩB, k ΩB²

−→ΩBi=k

AinsiP_C(Ω) =P_C⁰(Ω).Supposons que les cerclesCet C⁰ ne sont pas concentriques. Alors, d’apr`es la question pr´ec´edente, Ω appartient `a l’axe radical D de C et C⁰. Mais puisque

C ∩ C⁰ = {A, B}, on a D = (AB) et Ω, A et B sont align´es. Mais puisque A⁰ ∈ (ΩA), B⁰ ∈(ΩB) on en d´eduit que Ω,A, A⁰,B et B⁰ sont align´es. Contradiction. Les cerclesC etC⁰ ont donc mˆeme centre. Enfin, puisqueC ∩ C⁰={A, B},ils ont aussi mˆeme rayon, i.e.

C=C⁰.