le 15 D´ecembre 2003 UTBM
MT12
Examen m´ edian Printemps 2003
Chaque partie sera r´edig´ee sur une feuille diff´erente. Les calculatrices sont interdites.
Partie I :
Exercice 1 Soit E=R3. On consid`ere le sous-ensembleS deE, form´e des vecteurs
x y z
∈E
tels que 2x−3y+z= 0. Soit, en abr´eg´e : S ={
x y z
∈R3; 2x−3y+z= 0}.
1. Montrer que S est un sous-espace vectoriel deE.
2. Montrer que les vecteursU =
−1 0 2
, V =
0 1 3
, W =
3 2 0
appartiennent `a S.
3. Montrer que S est engendr´e par{U, V, W}.
4. Est-ce que{U, V, W} est une base de S? Quelle est la dimension de S? 5. Donner un suppl´ementaire deS dans E.
Exercice 2 On consid`ere E = R3 et les vecteurs u1 =
−1 1 1
, u2 =
m 1
12
, u3 =
−12 1
−12
, m∈R.
1. A quelle condition n´ecessaire et suffisante sur m, la famille β0 = {u1, u2, u3} est-elle une base de R3?
2. Dans le cas o`u β0 est une base, `a quelle condition n´ecessaire et suffisante sur m existe-il un vecteur non-nul de R3 ayant les mˆemes coordonn´ees dans la base canonique β et la base β0?
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Partie II :
Exercice 3 Soit l’endomorphisme f de R3 d´efini par (dans la base canonique A de R3) :
f : R3 −→ R3
V =
x y z
7→ f(V) =
x x x
+
3y
−y y
+
0 0 z
1. Donner la matriceM repr´esentant f dans la base canonique de R3. 2. D´eterminer le noyau et l’image def.
3. D´eterminer la matriceN associ´ee `a f dans la base B ={
1
−1 0
,
3 1 4
,
0 0 1
}.
4. D´eduire du r´esultat pr´ec´edent les noyaux des endomorphismes deR3 d´efinis par f−idR3, f −2idR3 et f + 2idR3
(o`u idR3 est l’application identit´e de R3).
Exercice 4 Soit E un espace vectoriel de dimension n. Soit f un endomorphisme de E. On note, pour k∈N∗, f1:=f, f2:=f◦f, f3:=f ◦f ◦f, fk:=f◦f ◦...◦f (k fois).
1. Montrer que ker(f)⊂ker(f◦f).
2. Montrer par r´ecurrence queker(fk)⊂ker(fk+1) pour tout k∈N∗. 3. Que peut-on dire de la suite (uk)k∈N∗ avec uk=dim(ker(fk))?
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