le 11 Janvier 2011 UTBM MT20
M´edian automne 2009
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´edig´ee `a la main
Chaque partie doit ˆ etre r´ edig´ ee sur une feuille diff´ erente
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
PREMIERE PARTIE.
Exercice 1 - 5 points On se propose d’int´egrer
I =
∫ ln(2)
0
e2x−ex+ 1 e2x+ 1 dx.
1. En utilisant le changement de variables u =ex, montrer queI =∫2
1
u2−u+1
u(u2+1)du. (justifier soigneusement)
2. D´ecomposer la fraction rationnelle apparaissant ci-dessus en ´el´ements simples.
3. CalculerI.
Exercice 2 - 5 points
1. Les int´egrales g´en´eralis´ees suivantes sont-elles convergentes ?
I1 =
∫ +∞
2
1
t.ln(t)dt, I2=
∫ +∞
2
1
tn.ln(t)dt(n∈Net n≥2), I3 =
∫ +∞
2
1
tn.ln(t)dt(n∈Zet n≤0).
2. Les int´egrales g´en´eralis´ees suivantes sont-elles convergentes ?
I4=
∫ +∞
0
sin(t)dt, I5 =
∫ +∞
0
sin(t2)dt.
TOURNER LA PAGE SVP
1
Exercice 3 - 5 points
1. Montrer que, pour n ∈ N l’int´egrale g´en´eralis´ee f(n) = ∫+∞
0 xn.e−xdx est d´efinie (avec
∀x∈R, x0 = 1) .
2. Calculerf(0), f(1), f(2).
3. Trouver une relation entre f(n) et f(n−1)pourn≥1.
4. En d´eduire la valeur def(n).
Exercice 4 - 7 points
Pour tout entier n∈N, on notewn=∫π2
0 cosn(t).dt.
1. Calculerw0 et w1.
2. Montrer que la suite wn est d´ecroissante.
3. Montrer que pour tout entier n∈N, wn≥0.
En d´eduire que la suite est convergente.
4. Soitn∈N. A l’aide d’une int´egration par partie, montrer quewn+2 = (n+1).∫π2
0 cosn(t).sin2(t).dt.
En d´eduire :
wn+2= n+ 1 n+ 2wn.
5. D´eduire des questions pr´ec´edente que 0< n+1n+2wn≤wn+1≤wn. En d´eduire que
wn∼n→+∞wn+1. RAPPEL : On dit que un∼n→+∞vn silimn→∞ uvn
n = 1.
6. D´eduire de la question 4 que la suite (un)n∈N, d´efinie par un = (n+ 1).wn.wn+1, est une suite constante.
7. En d´eduire que
wn∼n→+∞
√ π 2n.
RAPPEL :
ln(1 +X)∼X→0X−X2
2 +o(X2).
cos(X)∼X→0 1−X2
2 +o(X3).
sin(X)∼X→0 X−X3
6 +o(X3).
arctan(X) =X−1
3X3+o(X3).
∀k∈]−1,1[,
+∞
∑
n=N
kn= kN 1−k.
2
