Feuille de TD 3 : Distributions - D´ erivation.

Ecole Sup Galil´´ ee 2011-2012 Fili`ere MACS2

Math´ematiques, Th´eorie G´en´erale

Feuille de TD 3 : Distributions - D´ erivation.

Exercice 1

SoitH la fonction indicatrice deR+. 1. a. Montrer queH⁰ =δ₀ dansD⁰(R).

b. Montrer que (log|x|)⁰= vp _x¹

dansD⁰(R).

c. Montrer que, dansD⁰(R), vp

1 x

0

= lim

ε→0

Z

|x|>ε

ϕ(x)

x² dx−2ϕ(0) ε

!

= Pf 1

x²

.

2. Soit m ∈ N. Calculer les d´eriv´ees successives dans D⁰(R) de la fonctionx7→ ^x_m!^mH(x).

Exercice 2

Soit I =]a, b[ et f et g deux fonctions de classeC^∞ sur I. On se propose de montrer que si T ∈ D⁰(I) v´erifie T⁰+f T =gau sens des distributions, alorsT est donn´ee par une fonction C^∞ sur I qui v´erifie cette ´equation diff´erentielle au sens usuel.

1. Trouver une solution u0 de u⁰+f u = g qui soit de classeC^∞ surI.

2. Conclure en mettant toute solution de T⁰+f T = g sous la formeT =u0+Se^−F o`u F est une primitive de f et S une distribution `a d´eterminer.

Exercice 3

1. R´esoudre, dans l’ensemble des fonctions localement int´egrables surR, l’´equation diff´erentielle : 2xu⁰−u= 0.

2.SoitT ∈ D⁰(R) une solution de l’´equation 2xT⁰−T = 0. SoitT₁sa restriction `aD⁰(R^∗+) et soitT₂sa restriction

`

a D⁰(R^∗−).

a. CalculerT1 etT2.

b.SoitS=T−T1−T2. V´erifier que le support deS est inclus dans {0}.

c. SoitR=Pp

k=0akδ^(k)∈ D⁰(R) o`u les ak sont dansC. Montrer que : 2xR⁰−R= 0 ⇐⇒ R= 0.

d. En d´eduire les solutions dans D⁰(R) de l’´equation 2xT⁰−T = 0.

3. R´esoudre, dansD⁰(R), l’´equation diff´erentielle : 2xT⁰−T =δ₀.

Exercice 4

SoithunC¹-diff´eomorphisme deRdansR. SoitT l’ap- plication lin´eaire deC₀^∞(R²) dansCd´efinie par :

∀ϕ∈C₀^∞(R²), < T, ϕ >=

Z

R

ϕ(x, h(x)) dx.

1.Montrer queT ∈ D⁰(R²). Quel est son ordre ? 2.D´eterminer le support deT.

3. En d´eduire qu’il n’existe pas de fonction continue sur R² telle queT soit la distribution associ´ee `a cette fonc- tion.

4.Calculer, au sens des distributions, (∂_x+h⁰(x)∂_y)T.

Exercice 5 - ´Equation de la chaleur

Soit H la fonction indicatrice de R^∗+. On consid`ere la fonction surR²donn´ee par :

∀(x, t)∈R², E(x, t) = H(t)

√4πte^−x

2 4t.

1.Montrer queE d´efinit une distribution surR². 2.Montrer que, pour toutt >0 et toutx∈R,

∂_t 1

√4πte^−x

2 4t

=∂_xx² 1

√4πte^−x

2 4t

.

3.Soitε >0. Soitϕ∈C₀^∞(R²). On pose :

I_ε=− Z

R

Z +∞

ε

e^−x4t2

√4πt∂_tϕ(x, t) dtdx,

et

Jε=− Z

R

Z +∞

ε

e^−x4t2

√4πt∂_xx² ϕ(x, t) dtdx.

a.CalculerI_ε+J_ε.

b. En effectuant le changement de variable y = ^√x_ε, d´eterminer la limite, lorsqueεtend vers 0, deI_ε+J_ε. Indication : on pourra utiliser que R

Re^−u42 du=

√π 2 . 4.Calculer (∂_t−∂²_xx)E dansD⁰(R²).

Exercice 6 - ´Equation de Cauchy-Riemann On consid`ere surR²\ {0} la fonction donn´ee par :

∀(x, y)∈R²\ {0}, f(x, y) = (x+ iy)⁻¹.

1.Montrer quef ∈L¹_loc(R²).

2. Soit ¯∂ l’op´erateur de Cauchy-Riemann d´efinit par :

∂¯= ¹₂(∂x+ i∂y). Calculer ¯∂f dansD⁰(R²).

Indication : on pensera `a effectuer un changement de va- riables en coordonn´ees polaires.

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