Problème 7
Théophile Cailliau
Énoncé
Soit x1, x2, x3, . . . une suite d’entiers naturels1 vérifiant xmn 6= xm(n+1) pour toute paire (m, n)d’entiers positifs. Montrer qu’il existe itel que xi >2017.
Solution. Si la suite prend au moins2018 valeurs différentes (0est une valeur atteignable de la suite), alors par le principe des tiroirs il existei tel que xi >2017.
On construit un graphe G= (S, A) simple et non-orienté avec S=N et A=
{mn, m(n+ 1)}
(m, n)∈N20
De cette manière, si deux sommets a etb sont reliés, alors on a xa 6= xb. On cherche donc à trouver une 2018-clique dans G. Les arrêtes {mn, m(n+ 1)} relient en fait chaque multiple consécutif de m (m à 2m, 2m à3m, etc). Par conséquent, on a
{a, b} ∈A ⇐⇒ ∃m∈N, m=a−b et m|a et m|b
⇐⇒ a−b|a et a−b|b
⇐⇒ a−b|a
On va construire Rk ⊂S avec #Rk =k tel que pour tout(a, b)∈R2k, a6=b, on aita−b|a.
On ajoute l’hypothèse supplémentaire que 06∈Rk
On a R1 avec {1}. On considère p un multiple du produit de tous les éléments de Rk (non-nul par hypothèse). On a
∀(a, b)∈R2k, a6=b =⇒ a−b=a+p−(b+p)|a+p
Et pour touta∈Rk,a+p−p=a|a+p. On peut alors prendreRk+1 ={a+p,∀a∈Rk} ∪ {p}, en choisissant ptel que #Rk+1 =k+ 1.
Par conséquent, R2018 existe et G contient une2018-clique, ce qui conclut.
1 Correction établie sur le serveur discord
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