Licence L3
Méthodes Variationnelles janvier 2007, 3 heures
Université de Cergy-Pontoise Examen Mathématiques
1. (5 points)
(a) Montrer qu’il y a un voisinage de (u, z) = (1,2) tel que l’équation u3−3z u+ 5 = 0 admette une unique solutionu=φ(z)de classeC1satisfaisantφ(z) = 1.
(b) Déterminer un DL2deφenz= 2.
(c) Soitg(z) =φ(z)−z φ′(2). Déterminer si g admet un max/min local enz= 2. (Justifier)
2. (5 points) Soit R2 muni de la norme|x|∞ = max{|x1|,|x2|}, x = x1
x2
∈ R2. NotonE = M2(R)
l’espace des matrices réelles2×2, muni de la norme matricielle kMk= sup{|M x|∞:|x|∞≤1}.
Soit U =
5 −3
c 2
avecc∈Ret notonsφ(A) =A3+A U, A∈E.
(a) Calculer la norme deU en fonction dec∈R.
(b) Montrer queφest différentiable au sens du cours en toutA∈Eet déterminer sa dérivée dans une direction H ∈E.
(c) Supposons queA=A0est un point critique de l’application A∈E 7→tr(φ(A)) ∈R. Montrer queA0
vérifie l’équation matricielle 3(A0)2+U = 0.
3. (5 points) Soit f(x, y) =x2y et g(x, y) =x2+y2−3.
À l’aide d’un multiplicateur de Lagrange déterminer le maximum def sous la contrainteg= 0. (Justifier)
4. (5 points) SoitE =C1([1,2])muni de la normekykC1 = max{|y|∞,|y′|∞}.
SoitA={y∈E|y(1) = 3, y(2) = 8}etE0={h∈E :h(1) =h(2) = 0}. Soit φ(y) =
Z 2
1
y′(x)2
x3 dx, y∈ A.
(a) Montrer queφest différentiable eny ∈ Aet déterminer une expression pour la dérivée(φ′(y)).(h), dans une directionh∈E0.
(b) (Question du cours :) On suppose quey ∈ Aest un point critique de φ et quey est de classe C2. En déduire queyvérifie l’équation d’Euler-Lagrange.
(c) Déterminer un point critique deφ.
(d) A l’aide de l’invariant de Hamilton trouver un point critique de Z 2
1
y′(x)2
y(x)3 dx, y∈ A, y >0.
