L3 - Méthodes Variationnelles decembre 2006. 3 heures
Université de Cergy Pontoise Examen Mathématiques 2006/2007
1. (6 points) Soit f(x, y, z) = exp (5z+ 5y) + sin (2z+ 3x)−1.
(a) Montrer qu’il y a un voisinage de (0,0,0) tel que l’équation f(x, y, z) = 0 admet une unique solutionz=g(x, y)de classeC1 satisfaisantg(0,0) = 0.
(b) Déterminer ∂g
∂x(0,0), ∂g
∂y(0,0) et ∂2g
∂x∂y(0,0).
2. (8 points) On note hx, yi=x1y1+x2y2+x3y3 le produit scalaire habituelle surR3et kxk2 =p hx, xi la norme euclidienne. SoitN ∈R3un vecteur de norme un. Le planΣ ={x∈R3 :hx, Ni= 0}sépare R3 en deux parties ouvertes que l’on noteH1 etH2. Fixons deux pointsA1 ∈ H1,A2 ∈ H2 et deux constantesc1>0,c2 >0et définissons
f(x) =c1kx−A1k2+c2kx−A2k2, x∈R3.
Lorsquex∈Σon noteα1(etα2) l’angle entreA1−x(respectivementA2−x) et la droite passant parx et de vecteur directeurN (voir figure).
(a) Montrer que x ∈ R3 7→ hx, xi ainsi que x ∈ (R3)∗ 7→ kxk2 sont différentiables et déterminer leurs applications dérivées.
(b) Déterminer l’application dérivée def enx∈R3\ {A1, A2}.
(c) Soitg(x) = hx, Ni,x ∈ R3. Montrer queg(x) = 0est une contrainte régulière.
(d) Montrer quef : Σ→Radmet un point minimal,p∈Σ.
(e) Déterminer (sans résoudre) à l’aide d’un multiplicateur de Lagrange une équation sous forme vectorielle pourp(et le multiplicateur).
(f) En déduire qu’en ce point on a : c1sinα1 =c2sinα2.
N
A
α A
α Σ
2
2
1 1
x
3. (6 points) SoitE =C1([−1,1])muni de la norme habituellekykC1 =kyk∞+ky′k∞. SoitE ={y∈ E|y(x)>0, ∀x∈[−1,1]}. On définitf(y) =
Z 1
−1
p1 +y′(x)2
y(x) dxpoury∈ E.
(a) Montrer quef est différentiable eny∈ Eet déterminer une expression pour(f′(y)).(δy), la dérivée def eny∈Edans une directionδy∈E0≡ {δy∈E :δy(−1) =δy(1) = 0}.
Supposons dorénavant quey∈ E est un point critique def avec les contraintesy(−1) =y(1) = 1.
(b) En utilisant l’invariant de Hamilton, trouver une équation différentielle, d’ordre 1 poury.
(c) Construire une solution comme courbe paramétrée :x(t) =a+rsint,y(t) =b+rcost, oùa, betrsont des constantes à déterminer et pourtappartenant à un intervalle à preciser.
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