Troisième année de licence Parcours M-MP
Examen d’analyse complexe, 20 Decembre 2006
Durée: 3 heures
Exercice :
Soit U ⊆ C un ouvert convexe (donc connexe). On rappelle que f : U → C est harmonique si φ(x, y) = f(x+iy)est de classeC2 et∆φ = 0. On rappelle aussi qu’une fonctionf : U → Rest harmonique si et seulement si elle est la partie réelle d’une fonction holomorpheF.
1. (a) Soit F : U → C une fonction holomorphe sur U. Montrer que la fonction f = ReF vérifie la propriété de la moyenne surU.
(b) En déduire que toute fonction harmonique surU (à valeurs dansC) vérifie la propriété de moyenne surU.
2. Montrer que toute fonction harmoniquef :U →Rvérifie le principe de minimum : sif admet un minimum local ena ∈U alorsf est constante sur un voisinage dea.
3. Soitf :U →Rune fonction harmonique et constante sur un voisinageVa ⊂U oùa∈U. (a) Montrer que les conjuguées harmoniques def sont constantes surVa.
(b) En déduire quef est constante surU.
4. On suppose en outre queU est borné. Soitf :U →Rune fonction harmonique surU et conti- nue surU. Montrer quef atteint son minimum surU et queminz∈Uf(z) = minz∈∂Uf(z).
5. SoitG:C→Cdéfinie parG(z) =ez−ez. Soitf = 12|G|.
(a) Gest-elle holomorphe ? (b) f est-elle harmonique ?
(c) Donner une conjuguée harmonique def sur{z ∈C|Imz ∈[0,π2]}.
(d) Calculer le minimum def sur le triangle rectangle de sommetsiπ4,1 +iπ2 etiπ2.
Problème :
(Les parties II et III sont indépendantes) I. Partie théorique
SoitU un ouvert deC. Soientg, hdes fonctions holomorphes non identiquement nulles surU. 1. Soita∈U un zéro d’ordrekdeg. Montrer qu’il existe un voisinageV dea,V ⊂U, sur lequel
gs’ecritg(z) = (z−a)kg(z)˜ oùg˜est une fonction qui ne s’annule pas surV. Préciser la nature deg.˜
2. Supposons quea ∈ U est un zéro d’ordrek à la fois de g et deh. Quelle est la nature de la singularitéade la fonctionf = g
h?
3. Soit a ∈ U un zéro d’ordre 1 de h tel que g(a) 6= 0. Montrer que le résidu Res gh;a vaut limz→a(z−a)f(z).
4. Soit maintenanta ∈U un zéro d’ordre 2 dehtel queg(a)6= 0. Montrer alors que Res g
h;a
= 2 g′(a) h′′(a)− 2
3 ·g(a)h′′′(a) (h′′(a))2 .
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II. Application
Soitf :C→Cdéfinie par :f(z) = z2(2π−z) 1−cosz .
1. Trouver les zéros de la fonctionh(z) = 1−coszet leur ordre de multiplicité.
2. SoitDle disque de centreiet de rayon 7. Préciser la nature de chacune des singularités def se trouvant dansD(effaçable, pôle d’ordre fini, ou essentielle ?). Faire un dessin.
3. On note∂Dla frontière deD. Ecrire le théorème des résidus pourJ =R
γf(z)dz, où le cheminγ est∂Dparcouru une fois dans le sens direct.
4. En déduire la valeur deJ à l’aide des résultats de la partie (I).
III. Application
SoitU un ouvert deCcontenant le disque unitéDcentré en 0 et fermé. Soitγle chemin parcouru une fois dans le sens direct, dont l’image est∂D={z ∈C| |z|= 1}.
1. Soitf une fonction holomorphe non identiquement nulle surU,ne s’annulant pas sur∂D.
(a) Soita∈U un zéro d’ordrek def. Déduire de (I.1) une expression de f′
f surV\{a}, où V ⊂U est un voisinage deaà préciser.
(b) Calculer Res ff′;a . (c) CalculerI = 1
2iπ Z
γ
f′(z)
f(z) dz. (Considérer les zéros def dansD).
(d) Que vautI dans le cas particulierf(z) =z?
2. SoitF une fonction holomorphe surU,telle que|F(z)|<1sur∂D.
On poseft(z) =z−tF(z), pourz ∈U,0≤t ≤1et N(t) = 1
2iπ Z
γ
ft′(z) ft(z)dz.
(a) Montrer queN est une fonction définie et continue sur[0,1].(On pourra paramétrer le cercle∂D).
(b) En déduire queN est une fonction constante sur[0,1], puis, en utilisant (III.1.d) montrer queN = 1.
(c) Conclure queF admet surDun unique point fixez0 (c’est à dire tel quez0−F(z0) = 0).
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