Examen d’analyse complexe, 17 Mai 2006

Troisième année de licence Parcours M

Barème indicatif : 5+9+9

Examen d’analyse complexe, 17 Mai 2006

Durée:3heures

Exercice 1 : On noteDle disque ouvert de centre 0 et de rayon 1 deC. 1. Déterminer le rayon de convergence de la série P∞

n=1nzⁿ⁻¹, ainsi que sa somme g sur son disque de convergence.

2. Montrer qu’il existe un unique prolongement analytique de g sur C \ {1}, que l’on note eg.

Calculereg(2).

3. Montrer, qu’il existe une unique fonction analytiquef surDtelle que f 1

n

= n²

(n−1)² ∀n∈N^∗. On déterminera une formule pourf.

Exercice 2 : On note Lg la fonction logarithme suivante etRla fonction racine carrée définies sur C\iR⁻par

∀z ∈C\iR⁻, Lg(z) = ln|z|+iarg_]−^π

2,^3π₂ [(z) et R(z) = exp 1

2Lgz

.

On fera attention au fait que Lg n’est pas le logarithme principal, et R n’est pas la racine carrée principale.

1. Calculer Lg(−2), Lgi,R(i)etR(−2).

2. On posef(z) = Lgz

R(z) (1 +z²); sur quel ouvert maximalU deCcette formule définit-elle une fonction holomorphe ?

3. Pour tout0< r <1et1< T, on définit le cheminγsitué dans le demi plan supérieur=z ≥0 qui parcourt une fois dans le sens trigonométrique la courbe constituée par le demi cercleγ₁^∗de centre 0 et de rayonT, le segmentγ₂^∗ : [−T,−r], le demi cercleγ₃^∗ de centre 0 et de rayonr, et enfin le segmentγ₄^∗ : [r, T]. Représenterγ^∗.

4. Calculer Z

γ

f(z)dz.

5. Paramétrerγ1, γ2, γ3 etγ4. 6. On poseI₃(r) =

Z

γ3

f(z)dz, montrer que|I₃(r)| ≤π√

rπ−lnr

1−r² . En déduirelim

r→0I₃(r).

7. On poseI₁(T) = Z

γ1

f(z)dz, montrer que lim

T→∞I₁(T) = 0.

8. En considérant la partie imaginaire de Z

γ

f(z)dz, en déduire que Z ∞

0

lnx

√x(1 +x²)dx=− π² 2√

2.

TSVP 1

Exercice 3 : Soit un réela≥ ¹₂ et soitU ={z∈C^∗, |Argz|< _2a^π }.

Soit0<c<a. On définit la fonctionz^csurC\R⁻ parz^c=e^cLogz,où Logzdésigne la détermination principale du logarithme. On pose, pourz ∈C\R⁻etα >0,

ϕ(z) = e^−zc, ϕ_α(z) =e^−αzc etϕ(0) =ϕ_α(0) = 1.

1) a) Montrer queϕetϕαsont holomorphes et sans zeros surC\R⁻.

b) ReprésenterU. Soitz ∈U, calculer Re(z^c), montrer que Re(z^c)≥ |z|^ccos ^cπ_2a

>0.

c) Démontrer que∀z ∈C\R⁻, |z^c|=|z|^c, en déduire queϕetϕ_αsont continues en 0.

d) Montrer que∀z ∈U, |ϕ(z)| ≤1et quesup_|z|=r,z∈U|ϕ(z)| →r→∞ 0.

e) Vérifier que|ϕ_α(z)|=|ϕ(z)|^α.

2) Soientf une fonction holomorphe surU,continue surU, etM un réel tels que : (i)|f(z)| ≤M sur le bord deU,c’est à dire siz = 0ou si|Argz|= _2a^π.

(ii)∀z ∈U, |f(z)| ≤e^|z|b oùb ∈]0;a[est fixé.

On fixec∈]b, a[et on pose, pourz ∈U etϕ_α définie comme en 1), F_α(z) = f(z)ϕ_α(z)

a) Montrer quesup_|z|=r,z∈U|F_α(z)| →_r→∞ 0.En déduire qu’il existeR >0tel que sup

z∈U,|z|≥R

|F_α(z)| ≤M.

b) SoitT ={z∈U,|z| ≤R}.Montrer que sup

z∈∂T

|F_α(z)| ≤M.

En déduire que|F_α| ≤M surU.

c) En déduire, pourz ∈ U,une majoration de|f(z)|,puis, en considérantα → 0,conclure que

|f| ≤M surU.

3) Montrer que la fonctionf(z) = e^za est bornée sur le bord deU,mais pas surU.

2