Analyse complexe Chapitre 1 : Rappels
Lucie Le Briquer
1 Rappels de topologie
DansCun ouvertU est une union de disques ouvertsD(z0, r) ={z∈C||z−z0|< r}
de fa¸con ´equivalente∀z0∈U il exister >0 avecD(z0, r)⊂U D´efinition 1(ouvert)
Si X⊂C, l’int´erieur
◦
X est l’union des disques ouverts contenus dansX ; c’est aussi le plus grand ouvert contenu dansX
D´efinition 2(int´erieur)
Remarque.
L’adh´erence deX not´ee ¯X est le plus petit ferm´e contenantX. La fronti`ere deX est ¯X−X◦
X ⊂Cest compact : siX ⊂ ∪i∈IUi avecUi ouvert alors∃J fini∈I avecX⊂ ∪i∈JUi D´efinition 3(compact)
Crit`ere. Compact ssi (ferm´e et born´e)
• X⊂Cestconnexesi l’inclusionX⊂U1∪U2avecUiouverts disjoints entraˆıneX⊂U1
ouX ⊂U2
• X est connexe par arc si ∀x1, x2 ∈ X, ∃γi : [0,1] → X continue avec γ(0) = x1 et γ(1) =x2
D´efinition 4(connexe, connexe par arc)
1
Remarque.
• Connexe par arcs ⇒ connexe La r´eciproque est vraie pour un ouvert mais fausse en g´en´eral.
• Un convexe, un ensemble ´etoil´e est CPA
• Si f continuef(compact) = compact etf(connexe) = connexe
Une homotopie entre deux cheminsγ1et γ2 tqγi(0) =x1 etγi(1) =x2 est une application continue H : [0,1]×[0,1] → X avec H(0, t) = γ1(t) H(1, t) = γ2(t) H(s,0) = x1 H(s,1) =x2
D´efinition 5(homotopie)
Un espace CPAX estsimplement connexe si ´etant donn´es deux chemis γ1et γ2 dex1`a x2
il existe une homotopie deγ1 `a γ2
D´efinition 6(simplement connexe)
Exemple.
Un disque, un convexe, un ensemble ´etoil´e est simplement connexe
Remarque.
Pour unconvexe : H(s, t) =sγ1(t) + (1−s)γ2(t)
2 Rappels sur les s´ eries et suites
2.1 Produit de s´ eries
Si les deux s´eries de terme g´en´eral an et bn convergentabsolument alors la s´erie de droite converge absoluement et on a l’´egalit´e :
(
+∞
X
n=0
an)(
+∞
X
m=0
bm) =
+∞
X
l=0
( X
n+m=l
anbm) (1) Propri´et´e 1(produit de Cauchy)
Remarque.
Sian, bm sont des r´eels positifs alors (1) est toujours vrai avec ´eventuellement ”+∞= +∞”
2
2.2 Convergence uniforme de suites et s´ eries de fonctions
fn :U →Cconverge uniform´ement sur X⊂U s’il existeg:X →Ctelle que
∀ε >0, ∃n0, ∀n≥n0, ∀z∈X : |fn(z)−g(z)| ≤ε D´efinition 7(convergence uniforme)
• Une limite uniforme de fonction continue est continue
• SiU = [a, b] on alimRb
afn(t)dt=Rb ag(t)dt
• La plus utile : si U
ouvert⊂C,fn CVU sur tout compact contenu dansU Propri´et´e 2
3 Similitude, homographie et sph` ere de Riemann
Une similitude du plan complexe s’´ecritf(z) =az+b ouf(z) =a¯z+b aveca∈C∗, b∈C Th´eor`eme 3
f(z) = az+bcz+d aveca, b, c, d∈Cetad−bc6= 0 f :C− {−dc } −→C− {ac} D´efinition 8(homographie)
Formellement on peut ´etendref en une bijection
C∪ {∞} −→ C∪ {∞}
f¯: −dc 7−→ ∞
∞ 7−→ ac
On appelleC∪ {∞}lasph`ere de Riemann ou la droite projective complexe not´eeP1(C) P1(C) ={droites vectorielles dansC2}=C2− {(0,0)}/∼
o`u (z1, z2)∼(z10, z20) si∃α∈C∗ tqzi0=αzi
Action deGL(2,C) =
a b c d
∈M2(C)inversibles
GL(2,C)×P1(C) −→ P1(C) a b
c d
×[(z1, z2)] 7−→ [(az1+bz2, cz1+dz2)]
P1(C) =U1∪U2 U1={[(z1, z2)]∈P1(C)|z16= 0} etU2={[(z1, z2)]∈P1(C)|z26= 0}
3
Remarque.
U1={[(1, z)]∈P1(C)|z∈C}
∃Φ1: C −→ U1
z 7−→ [(1, z)]
∃Φ2: C −→ U2
z 7−→ [(z,1)] Φ−12 ◦Φ1(z) =1z
4
