L3-Méthodes Variationnelles 2ème session. Durée : 2 heures
Université de Cergy Pontoise Examen Mathématiques juin 2007
1. Soit E = R3 muni de la norme : |x| = p
x21+x22+x23, x = (x1, x2, x3). Soitf : E → R définie par f(x) = cos(x1+p
x22+x23). NotonsΩ ={x∈R3 :x22+x23 >0}.
(a) (2) Montrer quef estC1(Ω)et décrire sa dérivée enx∈Ωdans une directionh∈E.
(b) (1.5) Calculer la norme def′(a)au pointa= (0,π 2,0).
(c) (1.5) Y a-t-il des pointsx∈E\Ωtels quef soit dérivable enx ? (Justifier)
2. Soient les fonctions g(x, y, z) = x2+ 2y2−z2−1 et f(x, y, z) = x2 +y2+z2. (a) (1.5) Montrer que la contrainteg(x, y, z) = 0est régulière.
(b) (2) En utilisant un multiplicateur de Lagrange, déterminer les valeurs extremales de f(x, y, z)liées à la contrainteg(x, y, z) = 0.
(c) (1.5) Est-ce quef admet une valeur maximale/minimale globale sur l’ensemble {g(x, y, z) = 0}? (Justifier)
3. Soitf(x, y, z) = 2xz+y+z4.
(a) (2) Montrer que l’équationf(x, y, z) = 0détermine une fonction implicitez =φ(x, y)de classe (au moins)C1 dans un voisinage de(x0, y0, z0) = (1,0,0).
(b) (3) Déterminer les dérivées partielles d’ordre 1 et d’ordre 2 deφen(1,0).
4. NotonsE =M3(R)l’espace de matrices carrées de taille3fois3. NotonsD=GL3(R)le sous-ensemble de matrices inversibles. MunissonsEde la norme matricielle : kAk2 =P
i,jA2ij. On note trA=P
iAiila trace deA∈E. Soitf(X) =tr(X2+ 2X−1),X∈D.
(a) (1.5) Montrer queX ∈E 7→X2 ∈E est différentiable aux sens du cours et déterminer une formule pour sa dérivée.
(b) (1.5) Déterminer une formule pour la dérivée de f (Justifier).
(c) (1) Montrer que la matrice identité est un point critique de f.
(d) (1) Déterminer une équation matricielle verifiée par un point critiqueX def (Justifier). Montrer que toute valeur propre deXest une racine 3ème de l’unité.
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