Examen du 5 juin 2007, durée 3 heures

Examen du 5 juin 2007, durée 3 heures

LM336 ^- Université Pierre et Marie Curie Les documents, téléphones et calculettes sont interdits

1

Question 1 Préliminaire Soit g : IR ^H IR définie par

vx E IR, g(x) = xlxl.

a) Montrer que g est une fois continûment dérivable sur IR et calculer sa dérivée g'.

b) Montrer que

Penser à utiliser le théorème des accroissements finis.

Question 2 Préliminaire Soient h

>

O et 7 E

IR

donnés. On définit ij : IR ^H IR par

a) Montrer que l'équation ij(x) = O a au plus une solution ^Q E IR. (On pourra supposer que x et y sont deux solutions, écrire l'expression de la différence j(x) ^- j(y), la multiplier par x - y et utiliser la).

b) Montrer que Q a le même signe que 7 et calculer Q.

c) La fonction j est-elle Lipschitz sur IR ? Justifier votre réponse par une démonstration.

Question 3 Préliminaire Montrer a) l'égalité

1 1

v ( a , b ) ~ R x I R , ( ~ - b ) a = - ( a ~ - b ~ ) + - ( a - b ) ~ ,

2 2

b) l'inégalité

Va 2 0,Vb 2 0, 2ab < a 2 + b 2 .

Soit [a, b] un intervalle fermé et borné de

R,

a

<

b, et soit f : [a, b] ^H IR une fonction donnée continue sur [a, b]. On considère l'équation différentielle sur [a, b]

avec la condition initiale:

y(a) = a € IR.

On admet que (l), (2) admet une et une seule solution y E C1([a, b]). Pour approcher cette solution, on choisit un entier N 2 2, on pose h = (b - a)/N, xn = a

+

nh, O

5

n 5 N et, à partir de y0 = a, on définit la suite

~ n + i = yn - hyn+iJyn+il+ hf ( ~ n + i ) , 0

i

n

5

N

-

1

-

(3) 4. En utilisant la question 2, montrer que pour tout h

>

0, (3) définit la suite (yn) de manière unique et

calculer yn pour 1 5 n 5 N . _,-

5a. Ecrire la définition d'ordre du schéma (3).

b) Calculer l'ordre de (3) en supposant que la solution est assez régulière. (On pourra utiliser un développement de Taylor au voisinage de xn+i.)

6. Ecrire la définition de stabilité du schéma (3).

7. A partir de zo E R donné, on définit la suite

où E, E R,O

<

ⁿ 5 N - 1 est donné.

a) En utilisant la question 3a, montrer que

b) En utilisant la question lb, déduire que

c) En utilisant la question 3b, montrer que

d) Déduire de ces résultats que

e) Le schéma (3) est-il stable ? Justifier votre réponse par une démonstration.

8. Maintenant, on suppose que f E Cl ([a, b]).

a) Montrer que la solution y de ( l ) , (2) est dans C2([a, b]).

b) Montrer que

1

^{Yn - Y (ln)}

1 < a

h

^Ji+h

^{(ex=-. - 1) ~ a x}

1

^{yl1(x) ~}

1 .

^{~ ~ ~ , ~}

On considère la formule d'intégration sur [-1,1]:

9.a Montrer que (5) est exacte pour tous les polynômes de degré trois.

b'l On note

Calculer l'expression de ~ ( t ) , selon la position de t dans l'intervalle [-1,1]. (On ne demande pas de calculer son signe).

c) Rappeler l'énoncé du Théorème de Péano et appliquer-le à Î ( f ) pour en déduire une majoration de jÊ(f)j, en supposant que f a assez de dérivées continues sur [-1,1].

10. En faisant un changement de variable,

a) déduire de (5) une formule d'intégration I ( f ) sur un intervalle [a, a + h] avec a E

R

et h > O donnés, qui est exacte pour tous les polynômes de degré trois;

b) donner une majoration de l'erreur

la plus précise possible, en supposant que f a assez de dérivées continues sur [a, a

+

hl.