1 Accroissements finis

Université Lille I L3 Maths

2013-2014 M-52

8 - ACCROISSEMENTS FINIS, FONCTIONS DE CLASSEC^k, EXTREMA

1 Accroissements finis

Exercice 1

On considère l’applicationF:R²→R²définie parF(x,y)=(^cosx−sin₂ ^y,^sinx−cosy₂ ), oùR²est muni de la norme euclidienne.

a) Montrer que∥dF(x,y)∥ ≤p

2/2 pour tout (x,y).

b) En déduire que la suite récurrente définie parx0,y0et pourn≥1 xn+1=1

2(cosxn−sinyn), yn+1=1

2(sinxn−cosyn) converge quel que soit (x0,y0). Que peut-on dire de sa limite ?

Exercice 2

Soitf :R²→R²définie parf(x,y)=(x²−y,x²+y²), etg=f ◦f. a) Montrer quef etgsont de classeC¹.

b) Calculer en tout point (x,y)∈R²la matrice jacobienne de f, notéeJ(x,y)f. ExprimerJ(x,y)gen fonction de la matrice jacobienne def.

c) Calculer dg(0,0). Montrer qu’il existeδ>0 tel que pour tout (x,y)∈B F((0, 0),δ),∥dg(x,y)∥ ≤¹₂. d) Montrer que la fonctiongadmet un unique point fixe dansB F((0, 0),δ) et le déterminer.

Exercice 3

On considère l’applicationF:R²→R²définie par

F(x,y)=(x²+y²,y²) . SoitΩ={p∈R²|F^k(p)−−−−−→

p→+∞ 0} oùF^kest l’applicationFcomposéek-fois avec elle-même.

a) Vérifier quep∈Ωsi et seulement siF(p)∈Ω.

b) Montrer qu’il existeδ>0 tel que∥dFp∥ <¹₂si∥p∥ <δ. En déduire queB(0,δ)⊂Ω. c) Soitp∈Ω: montrer qu’il existekp∈Ntel quep∈(

F^kp)₋1

(B(0,δ))⊂Ω. Montrer queΩest ouvert.

d) CalculerF(t x,t y) pourt∈R. En déduireΩest connexe.

Exercice 4

Soitf une application différentiable de ]a,b[⊂RdansRⁿ; on suppose qu’il existek>0 tel que

∀x∈]a,b[,∥dfx∥ ≤k∥f(x)∥

Montrer que si f s’annule en un pointx0∈]a,b[, alorsf est identiquement nulle sur ]a,b[ (commencer par montrer queE={x∈]a,b[|f(x)=0} est ouvert).

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Exercice 5

Soitg:R→Rune application de classeC²etF:R²→Rdéfinie par F(x,y)=g(y)−g(x)

y−x six̸=y, F(x,x)=g^′(x).

Montrer que pour tout (x,y),F(x,y)=∫₁

0g^′((1−t)x+t y) dt. En déduire queFest de classeC¹en tout point de R²et calculer sa différentielle.

Exercice 6

Soit f définie par f(x)=x1−2x2+3x3+x₁²+x2x3−x₃³pourx=(x1,x2,x3)∈R³. Déterminer l’expression de D²f(0) à partir de la formule de Taylor. ComparerD²f(0) et la forme quadratique donnée matriciellement par la matrice hessienne( _∂2f

∂x_i∂x_j(0))

i,j. Exercice 7

SoientE1,E2etFdes espaces normés etB:E1×E2→Fune application bilinéaire continue. Montrer queBest de classeC^∞et déterminer les différentiellesD^kB.

Exercice 8

1. Déterminer les extrema (locaux et/ou globaux) de : (a) f(x,y)=x²−y², (x,y)∈R².

(b) f(x,y)=x³−y³, (x,y)∈R². (c) f(x,y)=x³+y³−3x y, (x,y)∈R². (d) f(x,y)=x²+y²−2x y+1, (x,y)∈R².

2. Discuter, suivant les valeurs du paramètre réelλ, la nature des extrema de la fonction f(x,y)=y(x²+y²−2λy).

3. Soitr,s,tdes réels etqla forme quadratique surR²définie parq(v)=r v₁²+2sv1v2+t v²₂pourv=(v1,v2).

Montrer que

(a) qest définie positive si et seulement sir t−s²>0 etr>0 ; (b) qest définie négative si et seulement sir t−s²>0 etr<0.

Exercice 9

Etudier les extrema (globaux) des fonctions suivantes surR³: f(x,y,z)=1

2x²+x y z−z+y ; g(x,y,z)=x³+3x y²+3z²+3x y

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