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Sur une généralisation de la formule des accroissements finis

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N

OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

T.-J. S TIELTJES

Sur une généralisation de la formule des accroissements finis

Nouvelles annales de mathématiques 3e série, tome 7 (1888), p. 26-31

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1888_3_7__26_0>

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(2)

SUR IL\E GÉNÉRALISATION DE LA FORMULE DES ACCROISSEMENTS FINIS;

PAR M. T . - J . STIELTJES.

1. M. H. A. Srhwarz a donné, dans les Annali di Matematica de Brioschi (série II, t. X), le théorème suivant :

Soient f\(t), /2 (O> • • • » fn (*) des fonctions 1 celles d'une même variable réelle t. On suppose que ces fonctions, de même que leurs dérivées jusqu'à l'ordre

n — i inclusivement, sont finies et conlijiues.

Dans ces conditions, si ti't2-) . . . , tn sont n valeurs différentes appartenant à l'intervalle a, . . •, Z>, le quo- tient

Mix)

fn(tt) u

fl(tn) M*n) . . • Mtn) I tn

nest pas plus grand que f -y e£ /;#.? /?/«.ç /?e-M

fiï r/ue -j—pp / 7j ' M désignant la plus grande, m la plus petite des valeurs du déterminant

i(O / Ï ( ^ ) ••• MO

sous les conditions

a < / S b. t " t" t" t'" b.

(3)

Comme le remarque M. Schwarz, ce théorème permet d'établir, d'une manière rigoureuse, certaines proposi- tions fondamentales dans la théorie des courbes planes ou gauches. Soit, par exemple, M un point d'une courbe gauche, et prenons sur cette courbe trois points infini- ment voisins de M. Le plan oscillateur en M est la posi- tion limite du plan qui passe par les trois derniers points. A l'aide du théorème de M. Schwarz, on recon- naît aussi clairement les conditions dans lesquelles cette proposition est exacte.

2. La démonstration que M. Schwarz a donnée de son théorème est extrêmement simple. La circonstance qu'elle exige des intégrations nous a conduit à chercher si l'on ne pourrait pas arriver au but d'une manière plus élémentaire.

Nous avons reconnu alors que le quotient considéré est égal à

/ i ( O /«(O ... MO

i Ain A(n ... r

n

(t")

i\i\3l...(n — i ) ! . . . . . . . . . . . . fin—i ) ( t(n)\ fUi—\) ( /(//)) f{n-\) / /(n

J 1 \ / t / 2 \ / * * * / fl \

t' = tu

tm={tutt,t3),

(tt, t2, . . . , t/ç) désignant un nombre compris entre le plus petit et le plus grand des nombres tK, t2, . . ., £*.

3. La démonstration de ce théorème s'appuie princi- palement sur le lemme suivant.

Si une fonction / ( / ) s'annule pour n valeurs diiïé-

(4)

( 2 8 )

rentes de la variable alors on a

ƒ<«-!)(£) = 0,

II faut supposer que la fonction ƒ ( / ) admet des dérivées ƒ'(*), fn{t), • • • 5 fn~2(t) qui sont finies et continues et que fn~2{t) admet encore une dérivée finie fn~*{t)j mais on n'a pas à supposer que fn~K{t) soit continue.

En efïet, soit, par exemple, n = 3 et Ayant

on en conclut d'abord

= o,

«' étant compris entre fi et f2 (en excluant les limites), et £/; entre l2 et f3. Ayant donc

on voit ensuite que la fonction jf/(t) doit s'annuler pour une valeur de la variable comprise entre tf et tf/, valeur qui sera comprise aussi entre tK et tz.

A. En s'appuyant sur ce lemme, la démonstration du théorème énoncé est très facile. Nous supposerons n z=z 4, et posons

f(x) g{œ) h(x) k(x) f(y) g(y) Hy) k(y) f(z) g{z) h(z) k(z) /(t) g(t) h(t) k(t)

i x #2 a?3

1 y y2 yz I Z Z* Z*

i t t* t*

= A.

(5)

Considérons la fonction

F(a) =

ƒ(*) g{x) h(x) k{x) Ar) g(y) h(y) k(y) A*) g{z) h(z) k(z) f'Ku) g{u) h(u) k(u) II est clair qu'on a identiquement

et encore, à cause de la valeur A, On en conclut

I X X^ X*

i y y2 yz I Z Zi Z*

I U Ü1 U?

ou

ce qui revient à

f(x) g(x) h{x) k(x) f(y) &(y) h(r) k(y) f(z) g(z) h{z) k(z) /'"(O êT(X) hm(ï) ^ ( 0 Soit maintenant

- 1 . 2 . 3

i x x2 1 y y2 I Z Z2

/(r)

/(a) g(u) h(u) k(u) II est donc clair qu'on a

T . a . 3

donc

(6)

Ci)

On a, par conséquent, f(x) g{x) h(x) k{x) Ay) g(y)

ƒ"(*,) g"M 1 . 2 . 1 . 2 . 3 A = o.

Considérons enfin la fonction

II est clair qu'on a donc

i . : 1.1. 2.3

i i

X

u

ou

Or cela revient à

( i )

h(T)

— I . I . 2 . I . 2 . 3 A = O,

ce qui est Texpiession du théorème annoncé.

On remarquera que cette démonstration suppose seulement que les dérivées secondes

ƒ"(/), #"(0, ^ ( 0 , *"(0 admettent des dérivées

mais il n'est pas nécessaire de supposer que ces der- nières fonctions soient continues.

Mais, si l'on ajoute cette dernière condition [la conti-

(7)

( 3 i )

imité de ƒ'"(*), g'"(«), h"'(l), k'\t)}, on conclut direc- tement que, si x, y, z, t tendent vers une même limite a, on a

/(a) g{a) h(a) k(a) i___ f{a) g'(a) h'(a) k'(a)

1.1.2.1. a. 3 f'(a) g" (a) h" (a) k\a) f"{a) g" {a) h'" (a) km(a) lim A =

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