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Application de l’inéaglité des accroissements finis à l’étude de suites du type u

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

ECE2-B 2017-2018

Application de l’inéaglité des accroissements finis à l’étude de suites du type u

n+1

= f (u

n

)

Exercice 1. ()

On considère la fonction f définie pourx>0 par : f(x) = 1

x+ 1

On considère aussi la suite (un)n>0 définie paru0= 1 etun+1 =f(un).

1. Montrer que l’équationx2+x−1 = 0a une seule solution dans l’intervalle ]0,1[, que l’on notera r2. Préciser la valeur de r2.

2. Montrer que si x est un réel de l’intervalle 1

2,1

, alors f(x) appartient aussi à l’intervalle1

2,1 .

3. En déduire que : ∀n∈N, un1

2,1 . 4. Démontrer que : ∀x∈[12,1], |f0(x)|6 4

9. 5. Démontrer que : ∀n∈N, |un+1−r2|6 4

9 |un−r2|.

6. En déduire que : ∀n∈N: |un−r2|6 4

9 n

.

7. À partir de quelle valeur de nle termeun est-il une valeur approchée de r2 à 10−6 près ?

On choisira la réponse parmi : n= 9,18,24, ou36.

On donne : ln 10'2,30 ln 2'0,69 ln 3'1,10.

Exercice 2. ()(d’après EML 96)

Soitf la fonction définie surRparf(x) = ex e2x+ 1. 1. a) Démontrer que f est paire sur R.

b) Justifier quef estC1 surR et étudier ses variations.

c) Montrer que l’équationf(x) =x admet une unique solution `∈R+. d) Justifier que :06`6 1

2.

Données numériques: e1/2 '1,65et e'2,72 au centième près.

e) Montrer que : ∀x>0, |f0(x)| 6 f(x).

En déduire que : ∀x>0, |f0(x)| 6 1 2. f ) Vérifier que f(

0,12 )⊂

0,12 . 2. On définit la suite (un)n∈N par :

u0 = 0 et ∀n∈N, un+1 =f(un) a) Montrer que, pour tout n∈N, un

0,12 . b) Montrer que, pour tout n∈N:

|un+1−`| 6 1

2 |un−`| puis que |un−`| 6 1 2n+1

c) En déduire que la suite (un) converge vers`.

3. Informatique

a) Écrire une fonction Scilab f qui prend en entrée un réel x et qui calcule f(x).

b) En utilisant la fonction f précédente, écrire une fonction SuiteU qui prend en entrée un entier positif net qui calcule un.

c) En utilisant la fonction SuiteUprécédente, comment peut-on obtenir à l’aide de Scilabune valeur approchée de `à10−6 près ?

(): application directe du cours, (): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 1

(2)

ECE2-B 2017-2018

Exercice 3. (☀☀)(d’après EML 2009)

On considère f :R→R l’application définie, pour tout x∈R, par :

f(x) =

( x

ex−1 six6= 0 1 six= 0.

On considère la suite (un)n∈N définie par u0 = 1 et, pour tout n ∈ N, un+1 =f(un).

1. a) Montrer quef est continue sur R.

b) Justifier quef est de classeC1 sur]− ∞,0[et sur]0,+∞[, et calculer f0(x) pour tout x∈]− ∞,0[∪]0,+∞[.

On admettra pour la suite que f0(0) =−1

2 et que f estC1 surR. 2. a) Étudier les variations de l’application u : R → R, définie, pour tout

x∈R, par :

u(x) = (1−x)ex−1.

b) Montrer :∀x∈R, f0(x)<0.

c) Déterminer les limites def en −∞et en +∞.

3. Montrer quef admet un point fixe et un seul, notéα, que l’on calculera.

4. a) Établir :∀x∈[0,+∞[, e2x−2xex−1>0.

b) Montrer∀x∈]0,+∞[, f0(x) +1

2 = e2x−2xex−1 2(ex−1)2 . c) Montrer :∀x∈[0,+∞[, −1

2 6f0(x)<0.

d) Établir :∀n∈N, |un+1−α|6 1

2|un−α|.

5. En déduire : ∀n∈N, |un−α|6 1

2n(1−α).

6. Conclure que la suite(un)n∈N converge versα.

7. Écrire un programme en Scilabqui calcule et affiche le plus petit entier natureln tel que|un−α|<10−9.

8. Si on ne connaissait pas la valeur deα, comment aurait-on pu déterminer un entier ntel que |un−α|<10−9?

Écrire l’appel correspondant en Scilab.

Exercice 4. ()

On considère la fonction f :x7→4−1

4 ln(x).

On définit alors la suite (un) par :

u0= 3

∀n∈N, un+1=f(un)

On rappelle les valeurs approchées suivantes :ln(2)'0.69 etln(3)'1.1.

1. Démontrer que l’intervalle I = [3,4]est stable par f.

2. En déduire par récurrence que :∀n∈N, un∈I.

3. Démontrer que : ∀x∈I, |f0(x)| 6 1 12.

4. On admet qu’il existe un unique r∈I tel quef(r) =r.

Démontrer que : ∀n∈N, |un+1−r| 6 1

12|un−r|.

5. Déduire de ce qui précède :∀n∈N, |un−r|6 1

12 n

.

(): application directe du cours, (): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 2

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