ECE2-B 2017-2018
Application de l’inéaglité des accroissements finis à l’étude de suites du type u
n+1= f (u
n)
Exercice 1. (☀)
On considère la fonction f définie pourx>0 par : f(x) = 1
x+ 1
On considère aussi la suite (un)n>0 définie paru0= 1 etun+1 =f(un).
1. Montrer que l’équationx2+x−1 = 0a une seule solution dans l’intervalle ]0,1[, que l’on notera r2. Préciser la valeur de r2.
2. Montrer que si x est un réel de l’intervalle 1
2,1
, alors f(x) appartient aussi à l’intervalle1
2,1 .
3. En déduire que : ∀n∈N, un∈1
2,1 . 4. Démontrer que : ∀x∈[12,1], |f0(x)|6 4
9. 5. Démontrer que : ∀n∈N, |un+1−r2|6 4
9 |un−r2|.
6. En déduire que : ∀n∈N: |un−r2|6 4
9 n
.
7. À partir de quelle valeur de nle termeun est-il une valeur approchée de r2 à 10−6 près ?
On choisira la réponse parmi : n= 9,18,24, ou36.
On donne : ln 10'2,30 ln 2'0,69 ln 3'1,10.
Exercice 2. (☀)(d’après EML 96)
Soitf la fonction définie surRparf(x) = ex e2x+ 1. 1. a) Démontrer que f est paire sur R.
b) Justifier quef estC1 surR et étudier ses variations.
c) Montrer que l’équationf(x) =x admet une unique solution `∈R+. d) Justifier que :06`6 1
2.
Données numériques: e1/2 '1,65et e'2,72 au centième près.
e) Montrer que : ∀x>0, |f0(x)| 6 f(x).
En déduire que : ∀x>0, |f0(x)| 6 1 2. f ) Vérifier que f(
0,12 )⊂
0,12 . 2. On définit la suite (un)n∈N par :
u0 = 0 et ∀n∈N, un+1 =f(un) a) Montrer que, pour tout n∈N, un∈
0,12 . b) Montrer que, pour tout n∈N:
|un+1−`| 6 1
2 |un−`| puis que |un−`| 6 1 2n+1
c) En déduire que la suite (un) converge vers`.
3. Informatique
a) Écrire une fonction Scilab f qui prend en entrée un réel x et qui calcule f(x).
b) En utilisant la fonction f précédente, écrire une fonction SuiteU qui prend en entrée un entier positif net qui calcule un.
c) En utilisant la fonction SuiteUprécédente, comment peut-on obtenir à l’aide de Scilabune valeur approchée de `à10−6 près ?
(☆): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 1
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Exercice 3. (☀☀)(d’après EML 2009)
On considère f :R→R l’application définie, pour tout x∈R, par :
f(x) =
( x
ex−1 six6= 0 1 six= 0.
On considère la suite (un)n∈N définie par u0 = 1 et, pour tout n ∈ N, un+1 =f(un).
1. a) Montrer quef est continue sur R.
b) Justifier quef est de classeC1 sur]− ∞,0[et sur]0,+∞[, et calculer f0(x) pour tout x∈]− ∞,0[∪]0,+∞[.
On admettra pour la suite que f0(0) =−1
2 et que f estC1 surR. 2. a) Étudier les variations de l’application u : R → R, définie, pour tout
x∈R, par :
u(x) = (1−x)ex−1.
b) Montrer :∀x∈R, f0(x)<0.
c) Déterminer les limites def en −∞et en +∞.
3. Montrer quef admet un point fixe et un seul, notéα, que l’on calculera.
4. a) Établir :∀x∈[0,+∞[, e2x−2xex−1>0.
b) Montrer∀x∈]0,+∞[, f0(x) +1
2 = e2x−2xex−1 2(ex−1)2 . c) Montrer :∀x∈[0,+∞[, −1
2 6f0(x)<0.
d) Établir :∀n∈N, |un+1−α|6 1
2|un−α|.
5. En déduire : ∀n∈N, |un−α|6 1
2n(1−α).
6. Conclure que la suite(un)n∈N converge versα.
7. Écrire un programme en Scilabqui calcule et affiche le plus petit entier natureln tel que|un−α|<10−9.
8. Si on ne connaissait pas la valeur deα, comment aurait-on pu déterminer un entier ntel que |un−α|<10−9?
Écrire l’appel correspondant en Scilab.
Exercice 4. (☆)
On considère la fonction f :x7→4−1
4 ln(x).
On définit alors la suite (un) par :
u0= 3
∀n∈N, un+1=f(un)
On rappelle les valeurs approchées suivantes :ln(2)'0.69 etln(3)'1.1.
1. Démontrer que l’intervalle I = [3,4]est stable par f.
2. En déduire par récurrence que :∀n∈N, un∈I.
3. Démontrer que : ∀x∈I, |f0(x)| 6 1 12.
4. On admet qu’il existe un unique r∈I tel quef(r) =r.
Démontrer que : ∀n∈N, |un+1−r| 6 1
12|un−r|.
5. Déduire de ce qui précède :∀n∈N, |un−r|6 1
12 n
.
(☆): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 2