L1 MPI 2013/2014
S1 Math´ematiques
Examen de seconde session du 19 Juin 2014
Dur´ee: 2h. Aucun document ni calculatrice autoris´e. T´el´ephones portables interdits!
Le barˆeme suivant est donn´e `a titre indicatif : 3+3+3+6+6.
Questions de cours.
a) Soit (un)n une suite de nombres r´eels et ` ∈R. Rappeler la d´efinition math´ematique de
n→lim+∞un=`.
b) Enoncer le Th´eor`eme de Rolle.
Exercice 1. On consid`ere l’affirmation suivante : Tout nombre r´eel strictement positif est sup´erieur ou ´egal `a au moins un entier naturel.
a) Ecrire cette affirmation en langage math´ematique.
b) Ecrire sa n´egation.
c) Entre l’affirmation et sa n´egation, d´eterminer, en justifiant la r´eponse, celle qui est vraie.
Exercice 2.
a) Trouver les racines carr´ees du nombre complexe 15 + 8i.
b) R´esoudre dansC l’´equation z2 −(2 + 3i)z−5 +i= 0.
Remarque: √
289 = 17.
Exercice 3. On consid`ere la fonction f :R→R d´efinie par f(x) =
e−x2 +x si x≤0,
cos(x) + sin(x) si x >0.
a) Justifier que f est continue et d´erivable sur R∗. Calculer f0(x) pour tout x6= 0.
b) Montrer que f est continue en 0.
c) Rappeler, sans justifier, les valeurs des limites suivantes:
xlim→0
ex−1
x , lim
x→0
sin(x)
x , lim
x→0
1−cos(x) x2 .
d) Montrer que f est d´erivable en 0 et que f0(0) = 1. En d´eduire que f0 est continue surR. e) Montrer que f0 n’est pas d´erivable en 0.
Exercice 4. Etant donn´en ≥2, on d´efinitfn: [0,1]→R par fn(x) = x−cos xn . a) Montrer que fn est strictement croissante.
b) Enoncer le Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires.
c) Montrer qu’il existe un unique r´eel xn ∈]0,1[ tel que xn= cos xnn . d) Montrer que pour toutx∈]0,1[ on a cos xn
<cos n+1x .
e) Montrer que fn+1(xn)<0 et en d´eduire que la suite (xn)n est strictement croissante.
f ) Montrer que la suite (xn)n converge puis que sa limite est 1.
