Contrôle de mathématiques ENSI PC1 (durée 1 heure) Les documents et calculatrices sont interdits.
Exercice 1
Résoudre, dans le corps des nombres complexes ℂ , l’équation : 4+ 2 − 4 + 3 3 − 2 − 9 +
= 0
sachant que cette équation admet une solution réelle.
Exercice 2
1) Rappeler, dans ℂ, les n racines nièmes de l’unité.
2) En déduire la résolution, dans ℂ, de l’équation : 1 + − 1 − = 0. On donnera une forme algébrique des solutions.
Exercice 3
Soit = , , ∈ ℝ⁄ = = et = 0, , ∈ ℝ .
1) Montrer que , sont deux sous-espaces vectoriels de ℝ. Déterminer une base et la dimension de chacun d’eux.
2) A-t-on ℝ = ⊕ (somme directe) ? Exercice 4
On considère l’espace vectoriel ℱ ℝ, ℝ (des fonctions de ℝ dans ℝ).Soient les quatre vecteurs
! , , , " de ℱ ℝ, ℝ définies par :
∀ ∈ ℝ , ! = 1 , = , = $% , " = $%. On pose & = '$() ! , , , " .
1) Montrer que ! , , , " est une base de & . 2) En déduire dim&.
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