Loi de Fourier: IVP 1990

SENSATION DE CHAUD OU FROID 1) Préliminaires.

On étudie la propagation unidirectionnelle de la chaleur le long de l'axe x'x d'un matériau cylindrique de section S, de conductivité thermique k, de chaleur massique c et de masse volumique µ.

La température à la date t en un point d'abscisse x est notée T(x,t).

Montrer que T(x,t) est solution de l'équation (E): D∂²T

∂x² =∂T

∂t où D est le coefficient de diffusion thermique que l'on exprimera en fonction de µ, c et k.

2) Modèle statique .

On adopte dans cette partie le modèle suivant: deux cylindres de même section S, de même axe x'x, de conductivités k₁ et k₂, de longueur L₁ et L₂ sont mis bout à bout, le contact s'établissant en x = 0.

On maintient les extrémités x=L₁ et x= −L₂ des deux cylindres aux températures respectives T₁ et T₂. On étudie un régime permanent pour lequel la température est indépendante de t.

a .Exprimer T(x) dans les 2 cylindres en fonction de T₁, T₂, x, L₁, L₂ et de la température T₀ en x=0.

b .En déduire que la température T₀ sur l'interface est un barycentre de T₁ et T₂.

Application numérique : L₁=L₂ ; T₁=37° C main ; T₂=20 °Cacier ou bois k₁=10 W m⁻¹K⁻¹main ; k₂=1 W m⁻¹K⁻¹bois ou k₂=100 W m⁻¹K⁻¹acier.

Calculer T₀ pour un contact main-bois puis pour un contact main-acier. Commenter.

3) Modèle dynamique.

On suppose maintenant que les deux cylindres sont illimités: L₁  ∞ et L₂ ∞.

Initialement à t = 0, le cylindre 1 est à la température uniforme T₁ et le cylindre 2 est à la température uniforme T₂. Pour t > 0, on maintient les ''extrémités'' des cylindres à température constante, soit:

∣

On pose f_Dx , t = 2



∫

x

2D te^−u2du et on admet les propriétés suivantes:

•f_Dest solution de l'équation (E) avec f_D∞,t =1 et f_D−∞,t =−1.

•A l'interface (x = 0) il s'établit instantanément une température invariable T₀. a .Expliquer pourquoi on peut chercher une solution pour x > 0 de la forme:

Tx , t =ab f_D

1x, t où a et b sont des constantes et D₁ est le coefficient de diffusion du milieu 1.

Déterminer a et b en fonction de T₁ et T₀.

b .Chercher de même une solution Tx , t =cd f_D2x, t pour x < 0 et déterminer c et d en fonction de T₂ et T₀. c . Etablir les expressions des puissances thermiques surfaciques j_Q

1 et j_Q

2 dans les deux matériaux, en fonction de x , D₁, D_2, k₁, k₂ et t.

d .En déduire l'expression de T₀ en fonction de T₁, T₂ et des effusivités E₁ et E₂ des deux matériaux, l'effusivité étant définie par E=



e . Application numérique: T₁=37 °C main ; T₂=20 °C bois ou acier

E₁=1 800 SI main ; E₂=14 000 SI acier ou E₂=400 SI bois. Calculer T₀ pour un contact main-bois puis pour un contact main-acier. Commenter.

f .Comment expliquer que la température T₀ à l'interface s'établisse instantanément lorsqu'on met les deux cylindres en contact?