 xfxF  CxFx  CxFx xfxfxF  0' 0  xfxFx  CxFx  CxFx 0  xFxFx               

Intégration (TS)

(1) Primitives Définition

Soient f et F deux fonctions définies sur un intervalle I

On dit que F est une primitive de f sur I lorsque pour tout xI on a F

 

x  f

 

x

Théorème

Si f est une fonction continue sur un intervalle I, alors f admet des primitives sur I.

Ce théorème sera démontré par le lien entre les intégrales et les primitives.

La continuité est une condition suffisante pour garantir l’existence de primitives, mais ce n’est pas une condition nécessaire.

Propriétés

Soit f une fonction continue sur un intervalle I [1] Si F et  sont deux primitives de f sur I,

alors il existe une constante C telle que pour tout xI, 

 

x F

 

x C

[2] Réciproquement, si F est une primitive de f sur I et si pour tout xI, 

 

x F

 

x C alors  est aussi une primitive de f sur I

[3] Soient x₀I et y₀IR

Il existe une unique primitive  de f sur I qui vérifie la condition initiale 

 

x₀  y₀ Démonstrations non détaillées :

[1]



F

  

' x  f

   

x  f x 0 donc la fonction F est constante sur I [2] 

 

x F

 

x 0 f

 

x

[3] Existence

Soit F une primitive de f sur I

On cherche C telle que F

 

x₀ C  y₀ et pour cela il suffit de prendre C y₀ F

 

x₀ En posant pour tout xI, 

 

x F

 

x C,  est une primitive de f sur I

et on a 

 

x₀ F

 

x₀ CF

 

x₀ y₀F

 

x₀ y₀ Unicité

Soient F et  deux primitives de f sur I telles que F

 

x₀ y₀ et 

 

x₀  y₀. Montrons que F et  sont en fait la même fonction.

Il existe une constante C telle que pour tout xI, 

 

x F

 

x C

En particulier, on a 

 

x₀ F

 

x₀ C c'est-à-dire y₀  y₀ C donc C0 Ainsi, pour tout xI, 

 

x F

 

x 0F

 

x

Calculs des primitives

La plupart du temps, on détermine les primitives en reconnaissant la dérivée d’une fonction.

Toutefois, il existe de nombreuses fonctions admettant des primitives qu’on ne peut pas écrire à l’aide des fonctions usuelles.

Par exemple, avant de connaître la fonction logarithme népérien il était impossible d’écrire une primitive de la fonction inverse (cependant de la fonction ln nous permet d’écrire de nouvelles fonctions dont on ne sait pas écrire les primitives à l’aide des fonctions usuelles).

La problématique des recherches de primitives ressemble à celle des factorisations : lorsqu’on n’y parvient pas, il n’est pas possible de savoir si c’est parce qu’on n’a pas eu la bonne idée ou si c’est parce qu’il n’est pas possible d’écrire la réponse.

La formule



uv



 uv permet de décomposer la recherche d’une primitive d’une somme en cherchant une primitive de chaque terme (mais ce n’est pas toujours la meilleure idée)

La formule

 

ku  ku facilite souvent la recherche d’une primitive en introduisant une constante multiplicative bien choisie pour aider à reconnaître une dérivée.

Exemples :

 détermination de la primitive F de ^f

 

^{x 5x4 x39x2 8x17} sur IR telle que ^F

 

^{1 0}

 détermination de la primitive G de

 





 



 

5cos 3 4 x x

g sur IR telle que 1

4



 



 G

 détermination des primitives sur IR de ^h

 

^{x }



^{x22xx11}



⁴

(2) Intégrale d’une fonction continue et positive (a) Définition

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I Soient aI et bI tels que ab

L’intégrale de a à b de f est notée



a^bf

 

x dx.

C’est l’aire de la partie du plan limitée par la courbe C_f et les droites d’équations y0 (axe des abscisses), xa et xb exprimée en unités d’aire du repère (1 unité d’aire est l’aire d’un rectangle de largeur 1 unité d’abscisse et de longueur 1 unité d’ordonnée)

Exemple :





 

2

1f x dx est l’aire du domaine hachuré ci-contre (b) Relation de Chasles

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I Soient aI, bI et cI tels que abc

D’après la propriété d’additivité des aires, on a la relation de Chasles :

       



^{ } b^c

b a c

a f x dx f x dx f x dx

Exemple :





 

^





 

^

  

3 2 2

1 3

1f x dx f x dx f x dx

Remarque :

On a aussi

  

^

  

^



a^b

 

c b c

a f x dx f x dx f x dx

Afin d’avoir une relation de Chasles parfaitement générale conduisant à

  

^

  

^



a^b

 

b c c

a f x dx f x dx f x dx, on adopte la convention suivante : Pour bc, on pose

  

^



b^c

 

b

c f xdx f x dx

Ainsi, lorsque les bornes ne sont pas dans l’ordre croissant, l’intégrale est un nombre négatif (ce n’est donc plus une aire)

On a aussi

  



  



  



  





a^b

 

0

b a a

b b

a a

a f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx (aire d’une surface de largeur nulle)

(3) Intégrale d’une fonction continue

(a) Définition de l’intégrale d’une fonction négative Soit f une fonction continue et négative sur

 

a; avec b ab On pose.

  

^



a^b



^

  

b

a f xdx f x dx

Cette intégrale est donc l’opposé de l’aire du domaine limité par la courbe C_f et les droites d’équations y0 (axe des abscisses), xa et xb qui, par symétrie par rapport à l’axe des abscisses, est identique à l’aire du domaine limité par la courbe C_f et les droites d’équations y0 (axe des abscisses), xa et xb

On a donc aussi :

 

^

  

^



a^b

 

b

a f x dx f x dx

(b) Définition de l’intégrale d’une fonction de signe variable Soit f une fonction continue sur un intervalle I

Soient aI et bI tels que ab



a^bf

 

x dx est la somme des aires limitées par la courbe C_f situées au dessus de l’axe des abscisses à laquelle on soustrait la somme des aires limitées par la courbe C_f situées en dessous de l’axe des abscisses

Exemple : ^5,5

 

_{1 2 3 4 5}

2 f x dxA A A A A





(c) Relation de Chasles et linéarité Relation de Chasles

Soit f une fonction continue sur un intervalle I (sans condition sur le signe) Soient aI, bI et cI (ordre quelconque)

On a :

  

^

  

^



b^c

 

b a c

a f x dx f x dx f x dx

    



^ c^b

b

c f x dx f x dx

 

0



a^af x dx

Cette généralisation est admise.

Linéarité

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I (sans condition sur le signe) Soient aI et bI (ordre quelconque)

   

       



^{  } a^b

b a b

a f x g x dx f x dx g x dx

Pour tout kIR,

 

^

  

^{ }



a^b

 

b

a k f x dx k f x dx et en particulier

 

^

  

^



a^b

 

b

a f x dx f x dx

Cette propriété est admise, mais on peut la constater sur l’exemple suivant :

I=IR a2 b1 k¹ f

 

x 2x g

 

x 1

Pour f

 

x 2x







 ^  ^

1 0 0

2 1

22xdx 2xdx 2xdx

2 2 1 2

4 2 2

1 2

 

 



 xdx 3

1 2

2 



 xdx

Pour g

 

x 1

 



1 2



1

11

2    



 dx 3 1

11

2  



 dx 3

11

2 



 dx

Pour f

   

x g x 2x1

Intersection avec l’axe des abscisses : 2

0 1 1

2x   x

D’une part,

2 0 3 5 , 1 2

3 5 , 1 1

2 1

2 1

2 ¹

2 2 1

1

2 1

2  

 















 









 x dx x dx x dx

Et d’autre part,

0 3 3 1

2 ¹

2 1

2 



  



 xdx  dx

Pour k f

 

x  2xx 2

1

D’une part,

5 , 2 1

1 1 2

2 2

1 0 0

2 1

2  

 













 



 xdx  xdx xdx

Et d’autre part,

 

3 1,5 2

2 1 2 1 ¹

2    







 xdx

(d) Intégration des inégalités Soient aIR et bIR avec ab

Soient f et g deux fonctions continues sur l’intervalle

 

a; (sans condition sur le signe) ^b

[1] Si pour tout x

 

a;b on a f

 

x 0 alors



a^bf

 

x dx^0 (positivité de l’intégrale) [2] Si pour tout ^x

 

^{a;b on a} f

 

x 0 alors



a^bf

 

x dx^0

[3] Si pour tout ^x

 

^{a;b on a} f

   

x g x alors

  

^



a^b

 

b

a f x dx g x dx (intégration des inégalités) Remarque :

L’hypothèse ab est fondamentale, puisque la relation

  

^



a^b

 

a

b f x dx f x dx entraine une inversion d’ordre.

Démonstration

[1] L’intégrale d’une fonction positive avec ab est une aire, donc c’est un nombre positif.

[2] L’intégrale d’une fonction négative avec ab est l’opposé d’une aire, donc c’est un nombre négatif.

[3] Soient aI et bI avec ab

Soient f et g deux fonctions continues sur l’intervalle

 

a; telles que pour tout b x

 

a;b on a f

   

x g x On a alors pour tout x

 

a;b , 0g

   

x  f x

Puisque la fonction g f est positive et que ab, l’intégrale



a^b



f

   

x ^g x



dx est une aire On a donc



a^b



f

   

x g x



dx0, puis, par linéarité

  





a^b

 

0

b

a f x dx g x dx et enfin

  

^



a^b

 

b

a f x dx g x dx

Interprétation :

Lorsque les 2 fonctions sont positives, la propriété d’intégration des inégalités traduit simplement l’évidence « l’aire du domaine sous la courbe la plus basse est inférieure à l’aire du domaine sous la courbe la plus haute »

Dans cette configuration, on peut alors calculer l’aire du domaine entre les deux courbes sur l’intervalle

 

a; par : b

    



^

 ^b

a b

a f x dx g x dx

A ou encore A^



a^b



f

   

x ^g x



dx (la deuxième formule permettant parfois des simplifications)

(e) Valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle

La valeur moyenne d’une série statistique est la valeur de la série constante (de même effectif) qui donne le même total en effectuant la somme.

Par extension, la valeur moyenne d’une fonction positive sur un intervalle doit être la fonction constante donnant le même « total ».

Comme il s’agit d’effectuer la somme d’une infinité de valeurs, le

« total » correspond en fait à l’aire sous la courbe. (voir le TP

« méthode des rectangles »)

Ainsi, la valeur moyenne m d’une fonction f continue et positive sur un

intervalle

 

a; (avec ^b ab) est la valeur de la fonction constante m

x telle que

  

^



a^b b

a f x dx mdx.

Or, ^bmdx



b a



m

a   



où



ba



est la largeur du rectangle et m la hauteur.

Ainsi, ^bf

 

x dx



b a



m

a   



Même si l’interprétation est moins évidente, cette relation se généralise au cas des fonctions qui ne sont pas positives, et on aboutit à la définition suivante :

Soient aIR et bIR avec ab

Soient f une fonction continue sur l’intervalle

 

a; (sans condition sur le signe) b La valeur moyenne de f sur l’intervalle

 

a; est le nombre réel b ^ _ ^



a^bf

 

x dx

a m b1

Si de plus f est bornée par deux réels M₁ et M₂ tels que pour tout ^x

 

^{a;b on a} M₁  f

 

x M₂ Alors on obtient les inégalités de la moyenne : ₁ ¹ f

 

x dx M₂

a

M b ^b

a 

 





Autrement dit : si toutes les valeurs de la fonction f sont comprises entre M₁ et M₂, alors la valeur moyenne de la fonction f est comprise entre M₁ et M₂

Démonstration

Soient M₁IR ,M₂IR, aIR et bIR avec ab

Soient f une fonction continue sur l’intervalle

 

a; et telle que pour tout b x

 

a;b on a M₁ f

 

x M₂ Par intégration des inégalités on a :



^

  

^



a^b

b a b

aM₁ dx f x dx M₂ dx

Comme M₁ et M₂ sont des constantes, les intégrales se calculent comme des aires de rectangles (ou des opposés d’aires de rectangles si les constantes sont négatives) ce qui donne dans tous les cas :



b a



M₁ ^bf

 

x dx



b a



M₂

a   









L’ordre est conservé en divisant chaque membre par le nombre positif ba ce qui conduit à :

 

₂

1

1 f x dx M

a

M b ^b

a 

 





(4) Calculs d’intégrales

(a) Lien entre intégrales et primitives Théorème

Soient f une fonction continue sur un intervalle I et aI

La fonction F définie pour tout xI par F

 

x ^



a^xf

 

t dt est la primitive de f qui s’annule en a.

Démonstration (R.O.C. improbable)

On se contente de démontrer le théorème dans le cas où la fonction f est croissante sur I.

On admet les autres cas (la démarche est similaire mais utilise une définition très précise de la continuité).

Soient f une fonction continue et croissante sur un intervalle I et aI Pour xI, on pose F

 

x ^



a^xf

 

t dt

Soit xI fixé.

Pour tout hIR tel que xhI le taux d’accroissement de F en x vaut :

             

h dt t f h

dt t f dt t f h

dt t f dt t f h

x F h x F

h x x h

x a

a x h

x a

x

a

  



^{ }



_ ^{ } _ ^

 

 d’après la relation de Chasles.

Procédons par disjonction de cas.

1^er cas : si h0, pour tout t



x;xh



on a xtxh et donc f

 

x  f

 

t  f



xh



(car f est croissante) Par intégration des inégalités sur l’intervalle



x;xh



on obtient :

       



^{   } x^{xh }

h x x h

x

x f x dt f t dt f x h dt

Or f

 

x et f



xh



sont des constantes (puisque la variable de l’intégrale indiquée par le dt est t), les intégrales se calculent donc comme des aires de rectangles (ou des opposés d’aires de rectangles si les constantes sont négatives) ce qui donne dans tous les cas :



x h x

  

f x ^{x h} f

 

t dt



x h x

 

f x h



x     











^

 

x f

 

t dt h f



x h



f

h ^{x h}

x   







^

L’ordre est conservé en divisant par h0, et on obtient :

   



x h



h f dt t x f

f

h x

x  





^

     

f



x h



h x F h x x F

f    

 De plus, f

 

x f

 

x

hh 

 00

lim (limite d’une fonction constante) et f



x h



f



x



f

 

x

hh    

 0

lim

00 car f est continue en xI

D’après le théorème des gendarmes, on en déduit que

   

f

 

x h

x F h x F

hh   

 00

lim

2^ème cas : (exercice facultatif) si h0 démontrer successivement que : [a] pour tout t



xh;x



, f



xh

    

 f t  f x

[b]

     

f

 

x

h x F h x h F

x

f   





[c]

   

f

 

x

h x F h x F

hh   

 00

lim

La synthèse des 2 cas donne alors

     

f

 

x h

x F h x x F

F  h   

lim0 ce qui prouve que F est une primitive de f. De plus, F

 

a 



a^af

 

t dt 0

Conséquences :

 ce théorème prouve l’existence des primitives des fonctions continues (résultat admis dans la partie (1)) et en particulier l’existence pour tout x0 de

 

^{x }



1^x_t ^dt

ln 1 . L’existence de la fonction logarithme népérien permet de justifier l’existence de sa bijection réciproque, c'est-à- dire l’existence de la fonction exponentielle (résultat admis jusqu’alors)

 Le calcul des primitives peut se ramener au calcul d’intégrales et par conséquent, le calcul d’intégrales peut s’effectuer grâce à un calcul de primitives.

Corollaire et définition de la notation

 

F

 

t ^b_a

Soient f une fonction continue sur un intervalle I, aI et bI Soit F une primitive quelconque de f sur I

On a alors :

         

^ba b

a f t dtF b F a  F t



Attention à l’ordre des bornes !

Démonstration :

Soient f une fonction continue sur un intervalle I, aI et bI Soit F une primitive quelconque de f sur I

Considérons la primitive de f qui s’annule en a définie pour tout xI, par ^

 

x ^



a^xf

 

t dt. Il existe donc une constante réelle C telle que pour tout xI, F

 

x 

 

x C

Ainsi,

   

^

   

^{ }

 

^{ }



^

 

^



^

  

^{   }



a^b

 

b a b

a F b F a b C a C f t dt C C f t dt

t

F 0

(b) Intégration par parties (hors programme)

Si u et v sont des fonctions dérivables sur l’intervalle

 

a; avec b u et vcontinues sur

 

a; , b Alors d’après la formule

 

uv  uvuv on a :

    

^{ }



a^b



^

       

^{ }



b

a uv x dx u x v x u x v x dx

Par le corollaire précédent et par linéarité on obtient :

    

^



^

   

^



a^b

   

^

b a b

a u xv x dx u x v x dx

x uv Et enfin :

    

^{ }

    

^



a^{b }

   

b a b

au x v x dx uv x u x v x dx formule d’intégration par parties Application (la seule à être au programme) :

Pour u

 

x x, u

 

x 1, v

 

x e^x et v

 

x e^x on peut trouver une primitive de xxe^x par :

 

^{1 0} 0

 

0



⁰



¹

0 0

0  



          



^{txexdx xex t t ex dx tet e ex t tet et e tet et}